3 / 17
Численная схема высокого порядка точности…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
95
методах [12], однако между ними есть существенные различия. Прежде всего, в
настоящей работе решение не предполагается непрерывным (и тем более
непрерывно дифференцируемым) вдоль профиля — это необходимо для кор-
ректного моделирования обтекания профилей с угловыми точками и острыми
кромками. В связи с этим для вычисления интегралов вдоль криволинейных
участков профиля используют формулы численного интегрирования Гаусса
вместо интегрирования разложений в степенные ряды. Кроме того, для получе-
ния основной системы линейных алгебраических уравнений использованы идеи
метода наименьших квадратов: истинное решение должно минимизировать ин-
теграл, вычисляемый по твердым границам области течения («стенкам»), от
квадрата разности скорости среды, определяемой искомым распределением за-
вихренности, и заданной скорости обтекаемого профиля.
Описанный подход и построенный на его основе численный алгоритм поз-
воляют значительно повысить точность определения интенсивности вихревого
слоя в вихревых методах.
Постановка задачи.
Течения вязкой несжимаемой среды описывают урав-
нениями Навье — Стокса
= 0,
(
) =
,
V
p
V
V V V
t
где
( , )
V r t
— поле скоростей;
— коэффициент кинематической вязкости;
—
плотность среды, принимаемая постоянной;
( , )
p r t
— давление.
Рассмотрим задачу о внешнем обтекании профиля неограниченным пото-
ком среды, тогда граничными условиями являются условие прилипания жидко-
сти на профиле и условия затухания возмущений на бесконечности:
( , ) = ( , ),
;
( , )
,
( , )
, | |
.
K
V r t V r t r K V r t
V p r t
p r
Здесь
( , )
K
V r t
— скорость точек профиля, которая предполагается известной.
Уравнения Навье — Стокса могут быть записаны в форме Гельмгольца с
использованием поля завихренности
( , ) = ( , ):
r t
V r t
(
) = 0,
U
t
(1)
где
( , ) = ( , )
( , )
U r t V r t W r t
,
( , )
W r t
— так называемая диффузионная скорость,
пропорциональная коэффициенту вязкости среды и определяющая эволюцию
завихренности в вязкой жидкости [3],
2
(
)
( , ) =
.
| |
W r t
Согласно уравнению (1), завихренность, имеющаяся в начальный момент
времени в области течения, движется со скоростью
,
U
в то время как «новая»