5 / 17
Численная схема высокого порядка точности…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
97
стороны профиля имеет вид (здесь и далее зависимости всех величин от време-
ни опущены)
2
( ) (
)
( )
1
( ) =
( ) ,
.
2 |
|
2
s
K
s r s
r
V r V
dl
n r r K
r s
(3)
«Классический» подход, обычно используемый в реализациях вихревых ме-
тодов, предполагает, что неизвестную функцию
( )
r
следует определять из
условия равенства нулю нормальной компоненты предельного значения поля
скоростей на профиле:
( ) ( ) = 0,
.
V r n r
r K
(4)
С учетом (3) относительно искомого распределения
( )
r
получается инте-
гральное уравнение первого рода, которое является сингулярным; интеграл в
нем следует понимать в смысле главного значения по Коши [1]. Численное ре-
шение этого уравнения может приводить к значительным погрешностям, а в
ряде случаев — и к получению качественно неверного результата.
В то же время известен альтернативный подход, из которого, в частности,
следует [9], что условие (4) эквивалентно условию
( ) ( ) = 0,
,
V r r
r K
(5)
которое означает равенство нулю касательной компоненты предельного значе-
ния поля скоростей на профиле.
Можно показать, что (5) приводит к интегральному уравнению второго ро-
да типа Фредгольма
2
( ) (
)
( )
1
( )
= ( ).
2 |
|
2
s
K
n r r s
r
s dl
V r
r s
(6)
Ядро полученного уравнения является ограниченной функцией для случая
гладкого профиля:
2
|
| 0
| ( ) (
) |
( )
= ,
lim |
|
2
r s
n r r s
r
r s
где
( )
r
— кривизна профиля в соответствующей точке.
Интегральное уравнение (6), как и сингулярное уравнение, следующее из
(4), имеет бесконечное множество решений. Для выделения единственного ре-
шения их требуется решать совместно с дополнительным условием, задающим
величину суммарной циркуляции
скорости вокруг профиля, которая обычно
известна из постановки задачи:
( ) = .
s
K
s dl
(7)
Для профилей простейших форм можно применить известный метод кон-
формных отображений и решить задачу определения интенсивности вихревого
слоя аналитически. Методика получения точных решений для кругового,