4 / 17
К.С. Кузьмина, И.К. Марчевский
96
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
завихренность генерируется только на обтекаемом профиле. Примем, что
начальное распределение завихренности в области течения
0
( , )
r t
известно.
Влияние обтекаемого профиля на течение эквивалентно суперпозиции вли-
яний присоединенного вихревого слоя с интенсивностью
( , ),
att
r t
присоеди-
ненного слоя источников интенсивностью
( , )
att
q r t
и свободного вихревого
слоя неизвестной интенсивности
( , ).
r t
Эти слои располагаются на обтекаемом
профиле, присоединенные слои моделируют движение и, в том числе, возмож-
ное деформирование профиля, поэтому их интенсивность определяется скоро-
стью движения точек профиля:
( , ) = ( , ) ( , ),
( , ) = ( , ) ( , ),
,
att
K
att
K
r t V r t
r t
q r t V r t n r t
r K
где
( , ),
n r t
( , )
r t
— орты нормали и касательной к профилю [5, 7].
В настоящей работе для простоты рассмотрим обтекание неподвижного не-
деформируемого профиля, поэтому
( , ) = 0,
att
r t
( , ) = 0,
att
q r t
однако это пред-
положение не является принципиальным и может быть опущено. Примем так-
же, что скорость набегающего потока является постоянной
= const.
V
По известному распределению завихренности с помощью закона Био —
Савара может быть восстановлено поле скоростей среды
2
2
( , ) (
)
( , ) (
)
1
1
( , ) =
.
2
|
|
2
|
|
s
S
K
s t r s
s t r s
V r t V
dS
dl
r s
r s
(2)
Здесь
S
— область течения;
K
— обтекаемый профиль;
= ,
k
=
k
— век-
торы интенсивности вихревого слоя и завихренности в области течения;
k
—
орт нормали к плоскости течения,
( ) ( ) = .
n r
r k
Интенсивность вихревого слоя
( , )
s t
можно определить из граничного
условия на неподвижном профиле
( , ) = 0,
.
V r t
r K
Рассмотрим простейшую модельную задачу и примем, что завихренность в
области течения отсутствует
( , ) = 0 ,
r t
и в этих условиях требуется опреде-
лить интенсивность вихревого слоя на профиле. Математически указанная за-
дача эквивалентна расчету обтекания профиля потоком идеальной несжимае-
мой среды при заданной циркуляции вокруг профиля. При расчете течений
вязкой несжимаемой среды свободный вихревой слой сходит в поток на каж-
дом временном шаге, формируя вихревой след вблизи и позади профиля, а опи-
санную выше задачу расчета интенсивности генерируемого на поверхности
вихревого слоя решают на каждом шаге расчета.
Интегральное уравнение для определения интенсивности вихревого
слоя.
Учитывая, что неизвестная интенсивность
( , )
s t
соответствует свобод-
ной завихренности, являющейся частью вихревого следа в области течения, в
соответствии с (2) можно показать, что предельное значение скорости среды со