13 / 17
Д.В. Гришин, Я.Ю. Павловский, И.Д. Ремизов
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
2
1 2
2 2
1 2
1 2 1 2
| | ( ( ) 2 (
) (
))
=
exp
2 | |
2
(
)
exp
(
)
.
2 | |
t V x V x y V x y y
n
t
n
n y y f x y y dy dy
t
Аналогично для произвольного :
q
/2
1
2 2
2
2
1 2
1
1 2
1
1 2
1
1 2
1
( (| / |) ) ( ) =
exp [ ( ) / 2 (
) (
)
2 | |
1
(
) / 2] exp
(
)
2 | |
(
)
,
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
t
n
S t n f f x
V x V x y V x y y
t
n
V x y y
y y
y y
y y
t
f x y y
y y dy dy dy dy
что эквивалентно
/2
2
=1
=
=1
=1
=1
( (| / |) ) ( ) =
1
1
=
exp
( )
2
2
2
.
q
q
q
q
q
j
j
p
j p
j
q
q
q
j
p
j
p
S t n f f x
t
n
V x V x y
y
t
n
t
f x y
dy
Исходя из этого, формула (12) примет вид (4).
►
Замечание 5.
Используя (8) вместо (6), можно получить еще одно представление
решения задачи Коши (1), отличающееся от приведенного в той части формулы, кото-
рая идет до
( (| / |)) .
q
S t n
Заключение.
Построены квазифейнмановские формулы, позволяющие по-
лучить решение задачи Коши для уравнения Шредингера на прямой. Это урав-
нение служит первым, наиболее простым примером применения метода, пред-
ложенного в работе [12]. В качестве возможных направлений дальнейших ис-
следований отметим следующие. Во-первых, сделать дающие решение задачи
Коши формулы проще за счет построения других семейств
0
( ( )) .
t
S t
Во-вторых,
предложить алгоритмы вычисления функции
( , )
t x
на ЭВМ по доказанным
формулам с учетом их специфики. Кроме того, актуальна задача поиска квази-
фейнмановских формул для более сложных уравнений Шредингера в много-
мерном пространстве; на искривленных поверхностях; на разветвленных по-
верхностях и др.
Авторы благодарят А.С. Пляшечника за помощь в выборе модельного примера,
А.В. Смирнова и П.С. Клочкова за помощь в поиске ошибок в ранней версии черновика
настоящей статьи, а также рецензентов за сделанные замечания к рукописи, Т.А. Гай-
дину, С.Х. Кадырова, К.А. Семина за помощь в поиске опечаток.