2 / 19
Графовый подход при построении конечно-элементной модели упругих тел…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
53
основан, прежде всего, на физических соображениях. Основой для построения
моделей в виде графов служит объективный характер операций измерения
выбранных независимых переменных. Известно, что целью любого измерения
является установление зависимости значений переменной от показаний прибора.
В то же время измерение связано как с точками системы, между которыми оно
осуществляется, так и с ориентацией измерителя. Эти свойства операции изме-
рения можно представить направленным отрезком, т. е. дугой графа.
С позиции операции измерения все переменные вне зависимости от их фи-
зической природы могут быть подразделены на два типа: 1) параллельные;
2) последовательные [1]. Параллельные переменные характерны тем, что изме-
ритель подключается к двум точкам системы параллельно потоку энергии.
Для измерения последовательных переменных прибор должен быть установлен
в разрыв энергетического потока. К параллельным переменным относятся ли-
нейные и угловые разности перемещений, относительные скорости и ускоре-
ния, деформации, разности давлений, температур, электрических потенциалов
и т. д. К последовательным переменным относятся силы, моменты сил, электри-
ческий ток, тепловой поток, поток жидкости или газа и др. Выбор связной пары
переменных определяется тем, что произведение последовательной и парал-
лельной переменных должно давать скаляр с размерностью мощности или
работы [1].
Анализ системы на основе графового метода сводится к следующему:
1) среда делится на части, имеющие известное математическое описание (в рас-
сматриваемом далее случае — закон Гука); 2) для каждой части строится под-
граф (элементарная ячейка), являющийся моделью этой части среды; 3) элемен-
тарные ячейки объединяются в граф — модель анализируемого тела, затем с
помощью матриц, характеризующих структуру графа, и уравнений, описываю-
щих элементарные ячейки, получают уравнения системы.
Графовый метод применительно к задачам теории упругости в декартовой
системе координат и осесимметричной задаче изложен в работах [2–11]. Для
расчета напряженно-деформированного состояния в элементах конструкций,
содержащих детали с круговыми границами (круговые концентрические коль-
ца, диски, зубчатые колеса, тормозные устройства, головки проушин, подшип-
ники и т. д.) целесообразно использовать полярную систему координат.
Графовая модель упругой среды в полярной системе координат рассмотрена
в работах [12, 13], где деформации в пределах элемента предположены постоян-
ными. Точность расчетов можно повысить, если применять для аппроксимации
многочлены более высоких степеней (при фиксированной сетке конечных эле-
ментов). В настоящей работе показано, что графовый метод позволяет постро-
ить линейную аппроксимацию деформаций на элементе с четырьмя узлами.
Традиционный подход метода конечных элементов (МКЭ) для этого требует как
минимум восемь узлов [14]. В результате при одинаковом уровне аппроксима-
ции определяющая система уравнений графового метода содержит в 2,5–3 раза
меньше уравнений, чем в МКЭ.