8 / 19
Графовый подход при построении конечно-элементной модели упругих тел…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
59
0 1
0 1
1
2
,
;
2
2
,
.
l
r
d
u
r
r
r
r
c
c
r
l
d
u
r
r
r
r
c c R
d d R
r
c
d
r
r
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
δ + δ
δ + δ
+ =
+ =
Δϕ
Δ
δ − δ
δ − δ
=
=
Δ Δϕ
Δ Δϕ
(13)
Отметим, что
2 1 1 2
,
.
a c b d
=
=
(14)
Это следует из контурных законов [16], примененных к компонентам
U
r
и
ϕ
U
элементарной ячейки
ϕ
ϕ
ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ
δ + δ − δ − δ = δ + δ − δ − δ =
0,
0
l
d r
u
l
u r
u
r
rr
r
rr
r
r
и соответствующим выражениям из (13). Такой же результат следует из ра-
венств
ϕ
ϕ
∂
∂
∂
∂=
=
∂ ∂ϕ ∂ϕ∂ ∂ϕ∂ ∂ ∂ϕ
2
2
2
2
,
.
r
r
u u
u u
r
r
r r
В (13) найдена только часть неизвестных коэффициентов из (11). Чтобы
найти оставшиеся коэффициенты, используем формулы (12) и (2) и обеспечим
выполнение уравнений равновесия (3), (4). В результате получим
(
)
+ −
λ + μ + + ϕ− − − + μ
=
0 1
2 2
1
0
1
2
2
2
2
2
2
0;
r
b b u c d b
a a r a
r
r r
r
(15)
(
)
(
)
− ϕ
+ ϕ
−
λ + λ+ μ +
+ + μ
+ +
=
2 2
2
1 0 2
2
0 0
1
2
3
2
2
2
2
0.
c d
a
c c c
b
c d c
r
r
r
r
r
r
r
(16)
Из уравнения (15) следует
(
)
λ + μ μ
= + + ϕ− −
+
+
λ + μ λ + μ
0
2
0
1
2
1
2 2
2
4
2
.
2
2
r
b
u a r a r a r
b
c d
r
(17)
Кроме того, из первого равенства в (11) получим
( )
= + + ϕ+ ϕ
2
0
1
2
1
,
2
r
u a r a r a r f
(18)
где
( )
ϕ
f
— произвольная функция аргумента
ϕ
.
Приравнивая выражения (17) и (18) для переменной
,
r
u
имеем
(
)
( )
λ + μ μ
− −
+
+ = ϕ
λ + μ λ + μ
0
2
1
1
2 2
3
2
4
,
2
2
2
b
a r
b
c d f
r
что возможно, если в пределах элемента полагать выполненным условие
=
1
0 3
4 .
3
a
b
r
(19)