7 / 19
А.А. Тырымов
58
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
ϕ
ϕ
∂
∂ = + + ϕ = +
∂
∂ϕ
∂
∂ = + + ϕ = + + ϕ
∂ϕ
∂
0 1
2
0 1
0 1 2
0 1
2
,
;
,
.
r
r
u
u a a r a
b b r
r
u
u c c r c
d d r d
r
(11)
Поскольку аппроксимируем деформации, а не перемещения, исключаются
проблемы, возникающие при смещениях элементов как твердого тела. Кроме
того, значительно сокращается размер матриц, использующихся в расчетах.
Следовательно, в силу (1)
(
) (
)
ϕϕ
ϕ
ϕ
ε = + + ϕ ε = + +
γ = + + + + + ϕ−
0 1
2
0 1
0 0
1 1
2 2
,
;
2 .
rr
r
r
a a r a
b b r ru
u
c d c d r c d
r
(12)
Выбирая систему координат так, чтобы ось
r
проходила через центр элемен-
та, в пределах элемента имеем
≤ ≤ − Δϕ ≤ ϕ ≤ Δϕ
, 0, 5
0, 5 .
i
e
R r R
Неизвестные коэффициенты в (11) выразим через деформации сторон эле-
мента. С помощью интегрирования вдоль соответствующей грани элемента по-
лучим
(
)
(
)
(
)
(
)
Δϕ
ϕ
ϕϕ
−Δϕ
Δϕ
ϕ
−Δϕ
ϕ
ϕ
∂
δ =
= + + ϕ Δ
∂
∂
δ =
ϕ = + Δϕ
∂ϕ
∂
δ =
ϕ = + Δϕ
∂ϕ
∂
δ =
= + + ϕ Δ
∂
0 1
2
/2
0 1
/2
/2
0 1
/2
0 1
2
;
;
;
,
e
i
e
i
R
r
rr
c
R
r
r
R
r
c
R
u dr a a R a r
r
u d b b r
u d c c r
u dr d d R d r
r
где
(
)
Δ = −
=
+
;
0, 5
.
e
i
c
i
e
r R R R R R
В результате имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
δ = + − Δϕ Δ δ = + + Δϕ Δ
δ = + Δϕ δ = + Δϕ
δ = + Δϕ δ = + Δϕ
δ = + − Δϕ Δ δ = + + Δϕ Δ
0 1
2
0 1
2
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
2
0 1
2
0, 5
,
0, 5
;
,
;
,
;
0, 5
,
0, 5
,
u
d
rr
c
rr
c
l
r
i
e
l
r
r
i
r
e
u
d
r
c
r
c
a a R a
r
a a R a
r
b b R
b b R
c c R
c c R
d d R d
r
d d R d
r
откуда получим
ϕϕ ϕϕ
ϕϕ ϕϕ
δ + δ
δ + δ
+ =
+ =
Δ
Δϕ
δ − δ
δ − δ =
=
Δ Δϕ
Δ Δϕ
0 1
0 1
2
1
,
;
2
2
,
;
l
r
d u
rr
rr
c
c
r
l
d u
rr
rr
a a R
b b R
r
a
b
r
r