5 / 19
А.А. Тырымов
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
Дуги элементарной ячейки отображают два вектора:
{ }
ϕϕ
ϕϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
δ = δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
{ ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
};
t
u l
A B d r
C D u l
A B d r
C D
rr
r
r
rr
r
r
r r
r r
c
u u
u u
u u
u u
(5)
{ }
ϕϕ
ϕϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
=
{ ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
},
t
r
r
r
r
rr
r
r
rr
r
r
u
r
u
r
B
D
B
D
A
C
A
C
l
d
l
d
c
f
f
f
f
f f
f
f f
f
f
f
f
f
f
f f
(6)
где
ϕϕ
ϕϕ
δ δ δ δ
,
,
,
u l
d r
rr
rr
— нормальные деформации;
ϕ ϕ ϕ ϕ
δ δ δ δ
,
,
,
u l
d r
r r
r r
— относи-
тельные перемещения, обусловленные поворотом сторон элемента;
,
,
,
,
A B C D
r
r
r
r
u u u u
ϕ ϕ ϕ ϕ
,
,
,
A B C D
u u u u
— перемещения точек, соответствующих вер-
шинам в глобальной системе координат;
ϕϕ
ϕϕ
,
,
,
rr
rr
u
r
l
d
f
f
f
f
— нормальные внут-
ренние силы или обобщенные напряжения;
ϕ ϕ ϕ ϕ
,
,
,
r
r
r
r
u
r
l
d
f
f
f
f
— тангенциаль-
ные внутренние силы;
ϕ ϕ ϕ ϕ
,
,
,
,
,
,
,
r
r
r
r
B
D
B
D
A
C
A
C
f
f
f
f
f
f
f
f
— внутренние силы в гло-
бальной системе координат; индексы
u, d, r, l,
обозначают верхние, нижние, ле-
вые и правые дуги,
A
,
B
,
C
,
D
— соответствующие вершины графа, символ
t
—
операцию транспонирования.
Граф целого тела строится так же, как и элементарная ячейка. Пример графа
для тела, состоящего из четырех элементов, показан на рис. 2.
Дуги графа тела, составленного из
n
отдельных элементов, представляют
векторы
{ }
{
}
{ }
{
}
=
δ = δ δ δ
1 2
1 2
,
, ...,
,
,
, ...,
,
t
t
t
t
t
t
t
t
nc
nc
c
c
c
c
f
f
f
f
(7)
где
{ } { }
δ
,
t
t
ic
ic
f
— векторы, определяемые по (5), (6).
Построение матрицы жесткости элементарной ячейки.
Связь векторов
{ }
c
f
и
{ }
δ
,
c
а также зависимость их от напряжений
σ
{ }
и деформаций
ε
{ }
мо-
делируемого тела устанавливаем, принимая в качестве инварианта при переходе
к дискретной модели энергию деформации произвольного элемента среды
энергии элементарной ячейки, соответствующей этому элементу:
{ } { } { } { }
δ = σ ε
'
,
t
t
c
c
V
f
dV
(8)
где
{ }
δ
,
c
{ }
c
f
— вектор деформаций и вектор внутренних сил, определяемые
по (5) и (6). С одной стороны, энергию элементарной ячейки можно предста-
вить в виде
{ } { }
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
δ = δ + δ + + + δ + δ +
+ + + δ + δ + +
+ + δ + δ + +
;
t
rr u
l
r A r B rr d
r
u rr
r
r
rr
r
B
A
l
d
c
c
r
r
r C r D
u
l
A
r
r
u r
r
D
C
A
l
r
r
B
d
r
C
D
r
r r
B
D
C
d
f
f
f
f u f u f
f
f u f u f
f
f u
f u f
f
f u f u
(9)
с другой — энергия деформации сплошной среды — это
{ } { }
(
)
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
′
′
′
′
σ ε = σ ε + σ ε + σ γ
.
t
rr
r
rr
r
V
V
dV
dV
(10)