Графовый подход при построении конечно-элементной модели упругих тел в полярной системе координат

3 / 19

А.А. Тырымов
54 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
Основные уравнения теории упругости в полярных координатах. В по-
лярной системе координат    1 2 , x r x ковариантные 11 22, , g g контравари-
антные 11 22, g g компоненты метрического тензора, символы Кристоффеля
второго рода k
ij (отличные от нуля), а также определитель метрического тензо-
ра g имеют следующий вид [15]:
              2 11 22 2 1 2 2 1 2
11 22 22 12 21 1, , 1, , , , . g g r g g r r r g r
Используя дифференциальные зависимости Коши [15], получаем ковари-
антные компоненты тензора деформаций
2 1
, , , .
2
r r
rr r r r r r r
u u u u u
ru
r r r
  
     
    
               
 
     
(1)
Закон Гука для изотропного тела представим с использованием тензора плот-
ности напряжений  , компоненты которого имеют вид      . ij ij ij g r
В результате получим
   
  
     
                  
3
2
2 , , , rr r
rr rr r r
r r r r
(2)
где  , — упругие постоянные Ламе.
Уравнения равновесия, записанные с использованием тензорных плотно-
стей, при отсутствии массовых сил принимают вид:

        
 
0;
rr r
r
r
(3)
 
         
 
2 0.
r
r
r r
(4)
Конструирование элементарной ячейки. Граф, служащий моделью систе-
мы, должен отображать переменные частей, образовавшихся в процессе деком-
позиции, а также их связь друг с другом.
Цель декомпозиции — выделить такие составляющие системы, описание ко-
торых можно считать известными в рамках выбранных переменных. Декомпо-
зиция упругого тела представляет собой процесс мысленного разбиения его на
отдельные элементы, для описания напряженно-деформированного состояния
которых используется закон Гука.
Способ конструирования графа тесно связан со способом измерения полно-
го и независимого комплекта переменных, которые однозначно характеризуют
состояние элементов, полученных в результате декомпозиции. При построении
графа в качестве исходных переменных используем параллельные переменные.
Эти переменные измеряются установкой соответствующего прибора непосред-
ственно на тело и должны однозначно описать деформированное состояние
элементов, полученных в результате декомпозиции. Элементарной ячейкой