18 / 31
А.В. Хохлов
110
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
6) если существуют пределы
′Φ +∞
( )
и
′Φ −∞
( )
производной
′Φ
( )
x
при
→ ±∞
x
и оба равны нулю (т. е.
−
+
′
′
ϕ ω + = ϕ ω − = +∞
(
0) (
0)
), то
Δ →
( ) 0
t
для
любой неограниченной ФП и любой программы нагружения (13) с
σ ≠
0.
n
Замечание.
Условие 6 будет выполнено, например, для
α
Φ =
( )
x ax
при
0,
x
>
( )
( )
x b x
β
Φ = − −
при
0,
x
<
,
(0;1),
α β∈
,
0,
a b
>
или для
1
,
−
Φ = ϕ
где
( )
u
ϕ
— МФ
вида (7).
Теорема 2.
Пусть выполнены предпосылки теоремы 1. Тогда для того, что-
бы ОС (1) обладало свойством затухающей памяти при ползучести (т. е.
Δ →
( ) 0
t
для всех КП (15) при любых ступенчатых нагружениях (13)) необходи-
мо, чтобы
Π ∞ =
( ) 0,
и достаточно одного из двух условий:
1)
Π ∞ < ∞
( )
(ФП ограничена на
∞
[0; )
), а МФ
Φ
( )
x
— любая (допустимая);
2)
Π ∞ =
( ) 0
(возможно,
Π ∞ = ∞
( )
) и существует число
>
0
C
, такое, что
′Φ
( )
x
ограничена сверху при
>
| |
x C
(
′ϕ
( )
u
ограничена снизу на множестве
>
| |
u c
с некоторым
>
0
c ).
В случае линейного ОС (2) условие
=
0
v
на ФП необходимо и достаточно
(условие 2 теоремы 2 выполняется) для затухания памяти при ступенчатых
нагружениях. Если
>
0
v
(например, как у модели Максвелла и всех РеМ-2
n
), то
след, оставленный прямоугольным импульсом нагрузки, не стирается никогда
(остаточная деформация
∞
ε = σ
),
vT
а при несимметричном циклическом сту-
пенчатом нагружении происходит неограниченное нарастание пластической
деформации (
ratcheting
).
Для нелинейного ОС (1) условие
=
0
v
не достаточно для затухания памяти.
Вместе с тем, модель может обладать затухающей памятью, хотя ни одно из двух
достаточных условий теоремы 2 не выполнено. Примером может служить мо-
дель (1) с МФ:
,
u
at
Π =
>
0,
a
∈
(0;1);
u
1/
[
(1 )
],
m
m
A x
x
Φ = ϑ + −ϑ
>
1,
m
>
0,
A
ϑ∈
(0;1].
(21)
При любых значениях параметров
, ,
a u
ϑ
, ,
m A
в (21) необходимое условие
=
0
v
выполнено, а достаточные условия затухания памяти из теоремы 2,
не выполняются: 1)
Π ∞ = ∞
( )
при
<
1;
u
2) производная
1
[
m
A m x
−
′Φ = ϑ +
1
(1 )/
(1 )
]
m m
m x
−
−
+ −ϑ
не ограничена при
>
1.
m
Покажем, что при определенных
ограничениях на параметры модель (21) обладает свойством затухания памяти,
а при их нарушении — нет.
Рассмотрим случай
=
2,
n
когда КП (15) принимает вид
ε = Φ σ Π − + σ
2
1
1
1
( )
(
(
)
( ; )),
t
t t
S t t
= Π −Π −
1
1
( ; )
( ) (
),
S t t
t
t t
а отклонение (19) от КП
ε = Φ σ Π −
0
2
1
( )
(
(
)),
t
t t
>
1
,
t t
— вид
Δ = Φ σ Π − + −Φ σ Π −
2
1
2
1
( )
(
(
) ( )) (
(
)),
t
t t
z t
t t
где
= σ
=
1
1
( )
( ; ) (1)
z t
S t t
o
при
→ ∞
,
t
и найдем условия, при которых
Δ →
( ) 0.
t
По теореме Лагранжа
′
Δ = Φ ξ
( )
( ) ( ),
t
z t
где
ξ = ξ
( )
t
лежит в интервале между