17 / 31
Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатых нагружениях…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
109
память не затухает (возможно, только при растяжении или только при сжатии,
если второй предел нулевой). Если
+
θ = +∞
,
то для программ (13) с
σ >
0
n
будет
Δ → ∞
( )
t
(так как
≠
0
vs
), а если
−
θ = +∞
,
то
Δ → ∞
( )
t
для программ с
σ <
0.
n
Если предел
′Φ +∞
( )
или
′Φ −∞
( )
не существует (это возможно, поскольку от
′Φ
( )
x
не требуется ни монотонность, ни ограниченность), то и предел отклоне-
ния (19) при
→∞
t
не существует (для программ с
σ >
0
n
или
σ <
0
n
соответ-
ственно), память не затухает.
Подытожим доказанные выше свойства кривой ползучести (15) при ступен-
чатых нагружениях (13).
Теорема 1.
Пусть ФП
( )
t
Π
положительна, дифференцируема, возрастает
и (нестрого) выпукла вверх на
(0; ),
∞
а МФ
( )
u
ϕ
непрерывно дифферен-
цируема и строго возрастает на
( ; 0) (0;
)
−
+
ω
ω
(возможно
−
ω = −∞
и
+
ω = +∞
),
(0 ) (0 ) 0
ϕ + = ϕ − =
и область значений
( )
u
ϕ
совпадает с
( ;
)
−∞ +∞
(т. е.
D
Φ
=
( ;
)
).
= −∞ + ∞
Тогда КП (15) нелинейного ОС (1) для любой ступенчатой программы
нагружения (13) определена при всех
0
t
>
и обладает следующими свойствами:
1) скачки КП (15) в точках разрыва напряжения
i
t
выражаются формулой
(17), в отличие от скачков КП линейного ОС (2), они зависят не только от
скачка напряжения в этот же момент времени, но и от предыстории нагруже-
ния и от ФП
Π
( )
t
; у нерегулярных моделей
Π =
(0) 0
(
)
) КП (15) непрерывны во
всех точках
;
i
t
2) асимптотика КП (15) при
→∞
t
имеет вид (18), где
= Π ∞
( );
v
−
−
=
= σ −
1
1
1
(
);
n
i i
i
i
s
t t
=
( ) (1)
z t o
при
→∞
t
;
3) если производная
′Φ
( )
x
ограничена сверху на полуоси
∞
[0; )
(т. е.
′ϕ > γ >
( )
0
u
),
то для любых двух программ вида (13) с одинаковыми конечными
уровнями напряжения
σ
,
n
моментами их включения
−
=
1
n
T t
(число ступенек про-
извольно) и значениями
s
разность КП (15)
ε −ε
1
2
( ) ( )
t
t
стремится к нулю при
→ ∞
;
t
в частности, при перестановке ступеней нагружения с номером
<
i n
выполняется свойство асимптотической коммутативности
ε − ε →
1
2
( ) ( ) 0
t
t
при
→ ∞
;
t
4) если ФП ограничена, то
=
0
v и все КП (15) обладают асимптотой
ε = Φ σ Π ∞
(
( ) );
n
5) если
σ =
0
n
(для финитных программ нагружений (13) с полной разгрузкой),
то при
→∞
t
асимптотика КП (15) имеет вид
( )
(
( )),
t
vs z t
ε = Φ +
( ) (1)
z t o
=
, КП
(15) обладает горизонтальной асимптотой
( ),
vs
ε = Φ
остаточная (пластиче-
ская) деформация
( )
vs
∞
ε = Φ
не зависит от значений ФП на любом конечном
интервале времени и отлична от нуля тогда и только тогда, когда
≠
0;
vs
если
ФП обладает свойством
=
0,
v
то
∞
ε =
0
для любых ступенчатых программ
нагружения (13), в частности, не происходит накопление пластических деформа-
ций при любых циклических ступенчатых нагружениях;