15 / 31
Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатых нагружениях…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
107
Параметр
vs
(наряду с
σ
)
n
управляет асимптотическим поведением кон-
кретной КП (15), а параметр
v
— характером поведения всех КП (15) и откло-
нений (19) для произвольных ступенчатых программ нагружения (13). Из
асимптотических представлений (18), (19) вытекают несколько важных след-
ствий.
1.
Если производная
′Φ
( )
x
ограничена сверху на полуоси
∞
[0; )
( ( )
0)
u
,
′ϕ > γ >
то для любых двух программ вида (13) с одинаковыми конечны-
ми уровнями напряжения
σ
,
n
моментами их включения
−
=
1
n
T t
(число ступе-
нек может различаться) и значениями
s
разность откликов (КП (15))
ε −ε
1
2
( ) ( )
t
t
стремится к нулю при
→∞
.
t
По теореме Лагранжа
ε − ε =
1
2
( ) ( )
t
t
−
−
′
= Φ σ Π − + + −Φ σ Π − + + = Φ ξ
−
1
1
1
2
1
2
(
(
)
( )) (
(
)
( ))
( )( ( ) ( ))
n
n
n
n
t t
s z t
t t
s z t
z t z t
и из
′ < Φ <
0 ( )
x C
следует, что
ε − ε <
− →
1
2
1
2
| ( ) ( )|
| ( ) ( )| 0
t
t
M z t z t
при
→∞
.
t
В част-
ности, при перестановке ступеней нагружения с номерами
<
i n
(тогда
s
и
σ
n
не меняются) выполняется свойство асимптотической коммутативности
ε − ε →
1
2
( ) ( ) 0
t
t
при
→∞
t
[47].
2
.
Если
0
n
σ =
(программа нагружения (13) с полной разгрузкой в момент
1
n
t
−
), то для любой ФП в силу (18) (и непрерывности МФ
( ))
x
Φ
имеем
( )
( )
t
vs
ε → Φ
при
,
t
→ ∞
т. е. КП (15) обладает горизонтальной асимптотой
,
∞
ε = ε
где
( ).
vs
∞
ε = Φ
Величина
∞
ε
имеет смысл остаточной деформации (не
исчезающей даже за бесконечное время после снятия нагрузки). Если
0,
vs
≠
то
и
( ) 0
vs
Φ ≠
(в силу требования
( 0) 0
ϕ =
и возрастания МФ
( ))
x .
ϕ
Постоянная
vs
(остаточная деформация в случае линейного ОС (2)) распадается в произве-
дение характериcтики ФП
v
и множителя
,
s
характеризующего конкретную
программу нагружения (13). В зависимости от параметров программы (13)
КП (15) может стремиться к асимптоте
( )
vs
ε = Φ
как сверху, так и снизу; если
все
0,
i
σ >
i n
<
(и
0
n
σ =
), то КП (15) убывает на всем луче
1
n
t t
−
≥
и стремится
к асимптоте сверху (так как все слагаемые
1
1
(
;
)
i
i
i
i
S t t t t
−
−
σ − −
в (15) положи-
тельны и убывают). Если
0,
vs
=
то
( ) 0,
vs
Φ =
т. е. деформация релаксирует до
нуля (полное восстановление при
)
t
;
→∞
в частности, так будет для всех сту-
пенчатых программ нагружения (13), если ФП обладает свойством
0.
v
=
3.
Если
σ ≠
0,
n
то следует рассмотреть два класса моделей:
1) модели с
=
0
v
(например, все модели с ограниченными ФП, в частности,
РеМ-(2k–1) и СиМ-2k,
,
k
∈
модели со степенными ФП, фрактальная модель
Фойгта и т. п.);
2) модели с
≠
0
v
(как у моделей РеМ-2k и СиМ-(2k–1),
).
k
∈
1. Если
=
0
v
(и
σ ≠
0
n
), то по (18) и (19)
−
ε = Φ σ Π − +
1
( )
(
(
) ( ))
n
n
t
t t
z t
и
−
−
Δ = Φ σ Π − + −Φ σ Π −
1
1
( ) (
(
) ( )) (
(
)),
n
n
n
n
t
t t
z t
t t
=
( ) (1)
z t o
при
→∞
.
t
(20)
В отличие от линейного ОС (когда
( )
x x
Φ =
и
( ) ( ) (1)
t z t o
Δ = =
в случае
0)
v
=
в нелинейном случае отклонение (20) не обязано стремиться к нулю, если
( ) .
Π ∞ = ∞
В этом случае, чтобы обеспечить
( ) 0,
t
Δ →
необходимо наложить на