19 / 31
Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатых нагружениях…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
111
σ Π −
2
1
(
)
t t
и
σ Π − +
2
1
(
) ( ),
t t
z t
потому для любого
σ >
2
0
будет
ξ →+∞
( )
t
при
→∞
t
(так как
Π ∞ = ∞
( ) ,
а
=
( ) (1)
z t o
), точнее,
ξ σ Π − =
2
1
( )
(
)
t
t t
= σ − σ
2
1
2
(
)
.
u
u
a t t
at
Для (21)
−
′Φ ϑ
1
( )
m
x Am x
при
→ ∞
x
и при
→∞
t
−
−
′Φ ξ ϑ σ
=
1
( 1)
2
( ( ))
(
)
,
u m u m
t
Am at
Bt
>
0.
B
Для ФП (21) имеем
1
1
( )
( ; )
z t
S t t
= σ
=
−
−
= σ +
1
2
1 1
( )
u
u
au t t
O t
и
−
−
−
′
Δ = Φ ξ
σ
( 1)
1
1
1 1
( )
( ) ( )
u m
u
um
t
z t Bt
au t t
Ct
при
→ ∞
,
t
где
= σ σ >
1 2
( , ) 0.
C C
Показатель главного члена асимптотики отрицателен (то-
гда
Δ →
( ) 0
t
при
→∞
t
) тогда и только тогда, когда
− <
1 0
um
, т. е.
< <
1
1/
m u
(22)
(множество решений не пусто при любом
(0;1)).
u
∈
Неравенство (22) — крите-
рий затухания памяти для семейства моделей (21). Если
>
1/ ,
m u
то
Δ → ∞
( )
.
t
Обнаруженные свойства КП (15), порождаемых ОС (1), полезно сравнить со
свойствами КП при ступенчатых нагружениях, порождаемых нелинейным ОС
типа Максвелла для вязкоупругопластичных разносопротивляющихся материа-
лов (оно тоже управляется двумя материальными функциями) [55, 56].
Семейства кривых ползучести при двухступенчатом нагружении.
Для ил-
люстрации свойств КП (15) рассмотрим случай
=
2.
n
Тогда при
>
1
t t
имеем
ε = Φ σ Π + σ −σ Π −
1
2 1
1
( )
(
( ) (
) (
)),
t
t
t t
или
2
1
1
1
2
1 2
1
( ) (
(
)
( ; )), или
( )
(
( ) (
) ( ; )),
t
t t
S t t
t
t
S t t
ε = Φ σ Π − + σ
ε = Φ σ Π + σ − σ
(23)
где
= Π −Π −
1
1
( ; )
( ) (
),
S t t
t
t t
>
1
t t
— положительная убывающая функция
,
t
→ ≥
1
1
( ; )
0
S t t
vt
при
→∞
.
t
Для КП (23) с
σ >
1
0
всегда
ε > Φ σ Π −
2
1
( )
(
(
)),
t
t t
так как
>
1
( ; ) 0,
S t t
а
Φ
( )
x
возрастает (в отличие от случая линейного ОС, от-
клонение
Δ = ε −Φ σ Π −
2
1
( ) :
( ) (
(
))
t
t
t t
уже не обязательно убывает). Аналогично,
из второго представления (23) следует, что
ε > Φ σ Π
2
( )
(
( ))
t
t
при
σ < σ
2 1
и
Φ σ Π − < ε < Φ σ Π
2
1
2
( (
)) ( ) ( ( ))
t t
t
t
при
σ > σ
2 1
,
>
1
,
t t
(24)
т. е. в случае
σ > σ >
2 1
0
справедлива двусторонняя оценка для КП (23) , не зави-
сящая от
σ
1
.
Из (18) при
=
2
n
следует, что при
→∞
t
КП (23) имеет асимптотику
ε = Φ σ Π − + σ +
2
1
1 1
( )
(
(
)
(1)),
t
t t
vt o
или
ε = Φ σ Π + σ −σ +
2
1 2 1
( )
(
( ) (
)
(1)).
t
t
vt o
Если ФП ограничена, то
=
0
v
и
ε ∞ = Φ σ Π ∞
2
( )
(
( )),
т. е. КП (23) стремится к
горизонтальной асимптоте. Если обе МФ не ограничены (и
σ ≠
2
0),
то
ε → ∞
( )
.
t
Кривые ползучести (23) для фрактальной линейной модели с ФП
( )
,
u
t At
Π =
0, 5,
A
=
0, 5
u
=
для
1
10,
t
=
1
1
σ =
и значений
2
σ =
1; 1,25; 1,5 (КП черного цвета
для
2 1
σ ≥ σ
) и
2
σ =
0,75; 0,5; 0,25; 0 (КП синего цвета для
2 1
<
σ σ
) приведены на
рис. 4,
а
. Штриховые линии красного цвета — обычная КП
2
( )
t
ε = σ Π
с
2
σ =
1,5 и