16 / 31
А.В. Хохлов
108
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
МФ
( )
x
Φ
или ФП
( )
t
Π
дополнительные ограничения, например, достаточно
потребовать ограниченность сверху производной
( )
x
′Φ
в некоторой окрестно-
сти
+∞
(в случае
0
n
σ >
) и в окрестности
−∞
(в случае
0
n
σ <
), т. е. при
| |
x C
>
с некоторым
0.
C
>
Тогда по теореме Лагранжа
( )
( ) ( ),
t
z t
′
Δ = Φ ξ
где
( )
t
ξ = ξ
лежит в интервале между
1
(
)
n
n
t t
−
σ Π −
и
1
(
) ( ),
n
n
t t
z t
−
σ Π − +
и потому
( )
( )
n
t
ξ → σ Π ∞ = ±∞
(знак совпадает со знаком
n
σ
) при
,
t
→ ∞
( )
M
′Φ ξ <
при
достаточно больших
t
и
( )
( ) (1),
t M z t o
Δ <
=
т. е.
( ) 0
t
Δ →
для любой неограни-
ченной ФП.
Если
( )
t
Π
ограничена, то
0
v
=
и по (18)
( )
(
( ))
n
t
ε →Φ σ Π ∞
при
t
→∞
(в силу непрерывности
( )
x
Φ
при
( ,
)
x
∈ −∞ +∞
), т. е. КП (15) обладает горизон-
тальной асимптотой
(
( )),
n
ε = Φ σ Π ∞
и по (20)
( )
(
( )) (
( )) 0
n
n
t
Δ →Φ σ Π ∞ −Φ σ Π ∞ =
для произвольной непрерывной МФ
( ),
x
Φ
т. е. память при ползучести затухает.
Отметим, что КП (15) с
0
n
σ ≠
может обладать горизонтальной асимптотой и в том
случае, когда
( )
t
Π
не ограничена. Так будет, если (и только если) МФ
( )
x
Φ
огра-
ничена (необходимо
+
ω < +∞
в случае
0
n
σ >
и
−
ω > −∞
в случае
0
n
σ <
): тогда из
(18) (и
( )
Π ∞ = ∞
) следует, что при
t
→∞
( )
t
+
ε →ω
для программ с
0
n
σ >
и
( )
t
−
ε →ω
для
0
n
σ <
(в этом случае асимптота не зависит от уровня напряжения
n
σ
и «чувствует» только его знак); при
0
n
σ =
( )
(0) 0.
t
ε →Φ =
Если обе МФ
Π
( )
t
и
Φ
( )
x
не ограничены (и
σ ≠
0
n
), то из (18) следует, что
ε → ∞
( )
,
t
т. е.
ε
| ( )|
t
неограниченно возрастает.
2. Если
≠
0
v
и
σ ≠
0,
n
то возможны два случая: 1)
=
0
s
(специально подо-
бранные программы нагружения); 2)
≠
0
s
(основной). Если
=
0,
s
то справедли-
во все изложенное выше в п. 1 про поведение КП (15) при
Π ∞ = ∞
( ) :
отклоне-
ние (19) будет стремиться к нулю лишь при дополнительных ограничениях на
МФ
Φ
(достаточно требовать ограниченность
′Φ
( )
x
).
Если
≠
0,
s
то ограниченности
′Φ
( )
x
не достаточно, и для обеспечения
Δ →
( ) 0
t
требуются гораздо более сильные ограничения на МФ. В отличие от
линейного ОС (2) (когда
Φ =
( )
x x
и
−
Δ = ε −σ Π − = +
1
( )
(
)
(1)
n
n
t
t t
vs o
, т. е.
Δ → ≠
( )
0
t
vs
и память не затухает при
≠
0
v
), для нелинейного ОС возможны
разные варианты поведения
Δ
( )
t
при
→∞
t
в зависимости от свойств МФ
.
Φ
Поскольку
≠
0,
v
то
Π ∞ = ∞
( )
и
−
σ Π − → ±∞
1
(
)
;
n
n
t t
поэтому поведение
Δ
( )
t
зависит от поведения
Φ
( )
x
при
→ ±∞
.
x
По теореме Лагранжа, (19) можно
представить в виде
′
Δ = Φ ξ +
( )
( )[
( )],
t
vs z t
где
ξ = ξ
( )
t
лежит в интервале между
−
σ Π −
1
(
)
n
n
t t
и
−
σ Π − + +
1
(
)
( ),
n
n
t t
vs z t
поэтому
ξ →±∞
( )
t
(знак совпадает со
знаком
σ
n
) при
→∞
.
t
Если существуют пределы
+
′
θ = Φ +∞
( )
и
−
′
θ = Φ −∞
( )
производной
′Φ
( )
x
при
→ ±∞
x
(каждый неотрицателен, так как
′Φ >
( ) 0,
x
и
может равняться
+∞
), то
+
Δ →θ
( )
t
vs
в случае
σ >
0
n
и
−
Δ →θ
( )
t
vs
при
σ <
0.
n
Если
+ −
θ = θ =
0
, то
Δ →
( ) 0
t
для любой неограниченной ФП и любой програм-
мы нагружения (13) с
σ ≠
0.
n
Если хотя бы один из пределов
+
θ
,
−
θ
больше ну-
ля, то
+
Δ →θ ≠
( )
0
t
vs
в случае
σ >
0
n
или
−
Δ →θ ≠
( )
0
t
vs
в случае
σ <
0
n
, т. е.