13 / 31
Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатых нагружениях…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
105
−
−
−
=
σ = σ − − − + σ −
1
1
1
1
( )
[ (
) (
)]
(
)
n
i
i
i
n
n
i
t
h t t
h t t
h t t
(13)
(полагаем, что
=
0
0,
t
−
>
1
i
i
t t
и
σ = σ
( )
n
t
при
−
>
1
n
t t
) в сумму откликов на каж-
дую ступеньку
−
−
−
−
−
=
ϕ ε = σ − − + σ Π −
−
1
1
1
1
1
1
( ( ))
(
;
)
(
) (
),
n
i
i
i
i
n
n
n
i
t
S t t t t
t t h t t
(14)
где
= Π −Π − −
( ; ) :
( )h( ) (
)h(
)
S t T t t
t T t T
— отклик на единичную ступеньку
напряжения с носителем
[0, ]
T
(задающий форму кривой обратной ползучести
линейного ОС (2)). Тогда
−
−
−
−
−
=
ε = Φ σ − − + σ Π −
−
1
1
1
1
1
1
( )
(
;
)
(
)h(
) ,
n
i
i
i
i
n
n
n
i
t
S t t t t
t t
t t
>
0.
t
(15)
Здесь
−
Φ = ϕ
1
.
Определение деформации по формуле (15) возможно лишь при
тех
,
t
при которых значение правой части выражения (14) принадлежит
Φ
=
( ; ).
D x x
В противном случае (при конечном
x
или
x
) отклик
ε
( )
t
не опре-
делен, и это можно интерпретировать как разрушение, происходящее в момент
=
*
,
t t
когда (впервые) происходит выход за пределы интервала
Φ
=
( ; )
D x x
(например, если
σ ≥ Π
1
/ (0)
x
или
σ ≤ Π
1
/ (0),
x
т. е.
σ
1
превосходит предел
прочности на растяжение или сжатие, то КП обрывается прямо в момент
=
0
t
).
Если
x
и
x
бесконечны, т. е. область значения МФ
ϕ
( )
u
— вся ось, то для про-
грамм нагружения (13) с любыми
i
t
и
σ
i
формула (15) справедлива для всех
>
0.
t
Именно этот случай и будет рассмотрен, чтобы не осложнять формули-
ровки дополнительными ограничениями на программы (13) и оговорками.
Уравнение КП (14) можно представить в виде суммы влияний скачков
напряжения
+
σ = σ −σ
1
ˆ :
i
i
i
(
σ =
0
: 0
) в точках
:
i
t
1
0
ˆ
( ( ))
(
) (
),
0, или
n
i
i
i
i
t
t t h t t t
−
=
ϕ ε = σ Π − − >
1
1
1
ˆ
( )
( )
(
) при ( ;
).
i
k
k
i
i
k
t
t
t t
t t t
+
=
ε = Φ σ Π + σ Π −
∈
(16)
В моменты
=
i
t t
КП (15) и ее производная имеют разрывы
ε
(( ( )
t
— разрыв
первого рода). Из (16) можно выразить пределы
ε
( )
t
в точке
=
i
t t
слева и спра-
ва и скачок
ε
ˆ( ) :
i
t
1
1
1
1
1
ˆ
( 0) ( ), где :
( )
(
),
1, ...,
1;
ˆ
ˆ
( 0)
( )
(
)
(
(0));
i
i
i
i
i
k
i
k
k
i
i
i
k
i
k
i
i
k
t
p
p
t
t t i
n
t
t
t t
p
−
=
=
ε − = Φ
= σ Π + σ Π − = −
ε + = Φ σ Π + σ Π − = Φ + σ Π
ˆ
ˆ
( ) (
(0)) ( ),
1, ...,
1.
i
i
i
i
t
p
p i
n
ε = Φ + σ Π −Φ = −
(17)