4 / 31
А.В. Хохлов
96
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
(
the interconversion relation
). Зная ФР, можно найти ФП из уравнения (4), и
наоборот.
Линейное ОС (2) получается из (1) при
ϕ =
( )
u u
и содержит лишь одну неза-
висимую МФ. Соотношением (2) задаются, в частности, все модели, собранные
из линейных пружин и демпферов посредством параллельных и последователь-
ных соединений (ФП классических моделей будут использованы для иллюстра-
ции общих свойств КП ОС (1)). Схемы и названия всех двух-, трех- и четырех-
звенных моделей (в терминологии нет единства) приведены в работе [48, рис. 1].
Можно доказать, что множество всех несократимых
n
-звенных моделей распа-
дается ровно на два класса эквивалентности: РеМ-
n
и СиМ-
n
(структурно раз-
личные модели эквивалентны, если задаются одинаковыми семействами ФП
или ФР). В частности, эквивалентны друг другу трехзвенные РеМ Пойнтинга —
Томсона и Кельвина (см. [48, рис. 1,
а
]), а все четыре РеМ-4 (см. [48, рис. 1,
в
])
эквивалентны модели стандартного тела (последовательному соединению моде-
лей Максвелла и Фойгта, т. е. РеМ-2 и СиМ-2).
Свойства основных теоретических кривых линейного ОС (2) с произволь-
ной ФП, необходимые математические и феноменологические ограничения на
ФП и ФР проанализированы в работах [47–50] и др. Проведенный анализ пока-
зал, что среди моделей, описываемых ОС (2) с различными ФР и ФП, необходи-
мо выделять (как минимум) три основных класса, поскольку качественные
свойства базовых теоретических кривых моделей этих классов (а также особен-
ности постановки и решения краевых задач) заметно различаются:
1) регулярные модели, у которых
(0) 0
Π ≠
(тогда мгновенный модуль
(0 ) 1/ (0 )
E R
= + = Π +
конечен, а ОС (2) и первое уравнение (4) сводятся к урав-
нениям Вольтерры второго рода (3) с
( )
u u
ϕ =
и (4));
2) сингулярные модели — с ФР, содержащей слагаемое
( ),
t
ηδ
0
η>
(ФР
( )
R t
= ηδ
задает ньютоновскую жидкость с ОС
σ = ηε
и входит слагаемым в ФР
«половины» реологических моделей из пружин и демпферов), тогда
(0) 0
Π =
и
1
(0)
;
−
Π = η
3) нерегулярные модели с неограниченной ФР, не содержащей слагаемого
( ),
t
ηδ
но имеющей интегрируемую особенность в точке
0
t
=
( (0 )
).
R
+ = +∞
При малых временах
/ 1
t
τ <
(и больших скоростях деформации — когда ве-
лико значение безразмерного параметра
,
ετ
τ
— нижняя грань спектра времен
релаксации) РеМ ведут себя как твердые тела, а СиМ — как жидкости (но при
больших временах и малых скоростях модели могут сменить поведение на «проти-
воположное», например, модели Максвелла и их параллельные соединения
(РеМ-2
k
) ведут себя как жидкости, а модели Фойгта и их последовательные соеди-
нения (СиМ-2
k
) — как твердые тела) [50]. Третий класс занимает промежуточное
положение между первыми двумя. К нему относится, например, ФР
−
=
( )
,
u
R t At
∈
(0;1),
u
>
0,
A
задающая так называемый «фрактальный» элемент «фрактальных»
моделей (
fractional models
— модели с оператором дробного дифференцирования);