11 / 31
Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатых нагружениях…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
103
Действительно, в момент
=
1
t t
кривая обратной ползучести (11) имеет раз-
рыв первого рода: пределы слева и справа равны
ε − σ = Φ σΠ
1
1
1
( 0; , )
( ( )),
t
t
t
ε + σ = Φ σ Π −Π
1
1
1
( 0; , ) ( [ ( ) (0)]),
t
t
t
а скачок равен
ε = Φ σΠ −σΠ −
1
1
ˆ ( )
( ( )
(0))
t
t
−Φ σΠ ≤
1
( ( )) 0.
t
Если
Π >
(0) 0,
то скачок отрицателен и зависит от
Π
1
( ).
t
Для
нерегулярных моделей
ε =
1
ˆ( ) 0,
t
т. е. кривые обратной ползучести непрерывны
в точке
=
1
t t
(как и в случае линейного ОС). Если
′Φ
( )
x
монотонна на
Φ
,
D
то и
зависимость
= ε
1
1
ˆ
( ) : ( )
s t
t
монотонна, в противном случае (когда
Φ
имеет точку
перегиба)
1
( )
s t
не обязана быть монотонной. Действительно,
′
=
1
( )
s t
′
′
= σΠ Φ σ Π − Π −Φ σΠ
1
1
1
( )[ ( [ ( ) (0)])
( ( ))];
t
t
t
если
′Φ
возрастает на
Φ
D
(т. е.
′′Φ >
( ) 0
x
), то
′
<
1
( ) 0,
s t
а если
′Φ
убывает (
′′Φ <
( ) 0
x
), то
′
>
1
( ) 0
s t
.
Производная кривой обратной ползучести (11) и ее пределы в точке
=
1
t t
выражаются формулами
′
ε σ = σΠ Φ σΠ ≥
1
( ; , )
( ) ( ( )) 0
t t
t
t
при
<
1
;
t t
′
ε σ = σ Π − Π − Φ σ Π − Π − ≤
1
1
1
( ; , ) [ ( ) (
)] ( [ ( ) (
)]) 0
t t
t
t t
t
t t
при
>
1
;
t t
′
ε − σ = σΠ Φ σΠ ≥
1
1
1
1
( 0; , )
( ) ( ( )) 0;
t
t
t
t
′
ε + σ = σ Π − Π Φ σ Π − Π ≤
1
1
1
1
( 0; , ) [ ( ) (0)] ( [ ( ) (0)]) 0.
t
t
t
t
Скачок скорости деформации
ε ≤
1
ˆ ( ) 0.
t
Если
Π = +∞
(0)
, то
ε + σ = −∞
1
1
( 0; , )
.
t
t
Если
Π =
(0) 0,
то
′
ε = −σΠ Φ σΠ
1
1
ˆ ( )
(0) ( ( )),
t
t
в частности,
ε =
1
ˆ ( ) 0,
t
лишь при
условии
′Φ σΠ =
1
( ( )) 0
t
(для линейного ОС всегда
ε = −σΠ <
1
ˆ ( )
(0) 0
t
).
Исследуем выпуклость кривой обратной ползучести (11) при
>
1
.
t t
При
>
1
t t
′
ε = σ Π − Π − Φ σ Π − Π − +
1
1
( )
[ ( ) (
))] ( [ ( ) (
)])
t
t
t t
t
t t
′′
+ σ Π − Π − Φ σ Π − Π −
2
2
1
1
[ ( ) (
)] ( [ ( ) (
)]).
t
t t
t
t t
(12)
Если
Π = α +β
( )
t
t
на некотором отрезке
[ ; ],
a b
таком, что
− ≥
1
,
b a t
то
ε =
( ) 0
t
при
∈ +
1
[
; ]
t a t b
(в частности, для модели Максвелла — при всех
>
1
t t
). В
остальных случаях первое слагаемое положительно (ибо
′Φ >
( ) 0,
x
а
Π
( )
t
возрас-
тает), а знак второго совпадает со знаком
′′Φ
( ),
x
где
= σ Π −Π −
1
:
[ ( ) (
)],
x
t
t t
∈ σ σ Π −Π
1
1
(
; [ ( ) (0)])
x vt
t
(для модели Максвелла
= σα =
1
( )
const,
x t
t
в остальных
случаях
( )
x t
убывает на луче
>
1
,
t t
∞ = σ
1
( )
).
x
vt
Если
′′Φ ≥
( ) 0
x
на
Φ
D
(т. е.
′ϕ ε ≤
( ) 0
на
ω
[0, )
) и
Π ≥
( ) 0,
t
то
ε ≥
( ) 0
t
при
>
0
t
и КП выпукла вниз, а если есть
интервал с
′′Φ <
( ) 0,
x
лежащий внутри
σ σ Π −Π
1
1
(
; [ ( ) (0)])
vt
t
, то на соответ-
ствующем интервале времени возможно
ε >
( ) 0,
t
т. е. КП может иметь точки
перегиба и участки выпуклости вверх (рис. 3,
а
).
Кривые обратной ползучести модели с МФ
2 0,5
( ) [1 ( 1) ] ,
x
x
Φ = − −
[0;1]
x
∈
2 0,5
( ( ) 1 [1 ] ,
ϕ ε = − − ε
[0;1],
ε∈
1
+
ω =
,
1
x
=
) и ФП Фойгта ( )
,
t
t
e
−λ
Π = β −β
1, 5,
β =
0,1,
λ =
при значениях
0, 01; 0,1; 0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8; 1
σ =
(кривые обратной пол-
зучести для
1
σ =
и
0, 01
σ =
выделены красным цветом) приведены на рис. 3,
а
.