Previous Page  6 / 31 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 31 Next Page
Page Background

А.В. Хохлов

98

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3

формирования и др.) в некоторый момент времени (когда деформация стремится

к бесконечности или достигает критического значения [43]). В этом случае их

можно интерпретировать как материальные параметры, через которые выража-

ются предел прочности, предельная деформация, время разрушения. Последняя

тема не рассмотрена в литературе, влияние свойств функции

ϕ

(в частности,

конечности параметров

,

+

ω

,

ω

x

и

x

) на теоретические кривые ОС (1) не

исследовано; в работах [12–26] функция

ϕ

неявно предполагалась (как следует из

вычислений) аналитической и обратимой на всей вещественной оси (радиус

сходимости степенного ряда не обсуждался, случаи

+

ω < ∞

или

x

< ∞

не

затрагивались). Хотя конечность

x

вовсе не экзотический случай, например, зада-

ча получения дробно-линейной зависимости Шестерикова — Юмашевой для

скорости ползучести от напряжения

*

( )

/(

),

V A

σ = σ σ −σ

*

[0;

)

x

∈ σ

[51], приво-

дит к МФ

/

*

( )

(1

),

u A

u

e

ϕ = σ −

0;

u

*

*

( )

ln[ /(

)],

x A

x

Φ = σ σ −

*

[0;

),

x

∈ σ

(6)

с

+

ω = +∞

,

= σ < ∞

*

x

[43].

Для задания МФ

ϕ

или

Φ

удобно, например, пятипараметрическое семей-

ство функций

= ϑ + −ϑ

( ) [ ( / ) (1 )( / ) ],

n

m

y x A x C

x C

0,

x

>

1,

n

<

1,

m

ϑ∈

[0; 1],

>

,

0,

A C

(7)

которое будет использовано для иллюстрации свойств КП. При всех значениях

параметров (кроме

ϑ=

0; 1)

)

=

(0) 0,

y

= ∞

(0) ,

y

=

( ) ,

y C A

( )

y x

возрастает и

имеет точку перегиба

=

ϑ

1/(

)

( , , )

,

n m

x C q n m

= − −ϑ − ϑ

1

:

(1 )(1 )[ ( 1) ]

q m m n n

(8)

(при

=

1

m n

= ϑ −

2

1

3 /( 1)

[(

1) ]

n n

x C

n

). Весовой параметр

ϑ∈

(0;1)

позволяет

совместить точку перегиба

x

с любой точкой

>

0

x

(и описать КП со всеми

тремя стадиями [43]); семейство (7) убывает по

ϑ

на интервале

(0; )

x C

и воз-

растает на

( ; )).

C

При

0

u

<

можно определить функцию

( )

u

ϕ

по формуле

( )

( ),

u y u

ϕ = − −

причем для разносопротивляющегося материала можно взять

другой набор пяти параметров функции (7) (при этом начальные условия

y

(0) = 0,

(0)

y

′ = ∞

обеспечивают гладкую склейку МФ

ϕ

в точке

0).

u

=

Графики функций (7) с

1/ ,

m n

=

3,

n

=

1

A C

= =

и

0; 0, 25; 0, 5; 0, 75; 1

ϑ =

(кривые

1

) и графики при

5

n

=

и

0; 0, 5;1

ϑ =

(кривые

2

) приведены на рис. 1.

С увеличением

n

производные

( )

x

ϕ

в окрестностях точек

0

x

=

и

1

x

=

возрас-

тают. Графики взаимно обратных МФ (6) с

*

1,

σ =

0, 3

A

=

(кривые

3

) также пока-

заны на рис. 1.

В качестве МФ ОС (1) также можно выбрать

(1 cos( / ))

C u A

ϕ = −

,

A

ω= π

2 ,

x C

=

[arcsin ( / 1) 0, 5 ],

A x C

Φ =

− + π

[0; 2 ]

x

C

) или

arctg ( / )

C u A

ϕ =

(

,

ω= ∞

/ 2,

x С

= π

tg ( / )).

A x C

Φ =