6 / 31
А.В. Хохлов
98
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
формирования и др.) в некоторый момент времени (когда деформация стремится
к бесконечности или достигает критического значения [43]). В этом случае их
можно интерпретировать как материальные параметры, через которые выража-
ются предел прочности, предельная деформация, время разрушения. Последняя
тема не рассмотрена в литературе, влияние свойств функции
ϕ
(в частности,
конечности параметров
,
+
ω
,
−
ω
x
и
x
) на теоретические кривые ОС (1) не
исследовано; в работах [12–26] функция
ϕ
неявно предполагалась (как следует из
вычислений) аналитической и обратимой на всей вещественной оси (радиус
сходимости степенного ряда не обсуждался, случаи
+
ω < ∞
или
x
< ∞
не
затрагивались). Хотя конечность
x
вовсе не экзотический случай, например, зада-
ча получения дробно-линейной зависимости Шестерикова — Юмашевой для
скорости ползучести от напряжения
*
( )
/(
),
V A
σ = σ σ −σ
*
[0;
)
x
∈ σ
[51], приво-
дит к МФ
/
*
( )
(1
),
u A
u
e
−
ϕ = σ −
0;
u
≥
*
*
( )
ln[ /(
)],
x A
x
Φ = σ σ −
*
[0;
),
x
∈ σ
(6)
с
+
ω = +∞
,
= σ < ∞
*
x
[43].
Для задания МФ
ϕ
или
Φ
удобно, например, пятипараметрическое семей-
ство функций
= ϑ + −ϑ
( ) [ ( / ) (1 )( / ) ],
n
m
y x A x C
x C
≥
0,
x
>
1,
n
<
1,
m
ϑ∈
[0; 1],
>
,
0,
A C
(7)
которое будет использовано для иллюстрации свойств КП. При всех значениях
параметров (кроме
ϑ=
0; 1)
)
=
(0) 0,
y
′
= ∞
(0) ,
y
=
( ) ,
y C A
( )
y x
возрастает и
имеет точку перегиба
−
=
ϑ
1/(
)
( , , )
,
n m
x C q n m
−
= − −ϑ − ϑ
1
:
(1 )(1 )[ ( 1) ]
q m m n n
(8)
(при
−
=
1
m n
−
−
−
= ϑ −
2
1
3 /( 1)
[(
1) ]
n n
x C
n
). Весовой параметр
ϑ∈
(0;1)
позволяет
совместить точку перегиба
x
с любой точкой
>
0
x
(и описать КП со всеми
тремя стадиями [43]); семейство (7) убывает по
ϑ
на интервале
(0; )
x C
∈
и воз-
растает на
( ; )).
C
∞
При
0
u
<
можно определить функцию
( )
u
ϕ
по формуле
( )
( ),
u y u
ϕ = − −
причем для разносопротивляющегося материала можно взять
другой набор пяти параметров функции (7) (при этом начальные условия
y
(0) = 0,
(0)
y
′ = ∞
обеспечивают гладкую склейку МФ
ϕ
в точке
0).
u
=
Графики функций (7) с
1/ ,
m n
=
3,
n
=
1
A C
= =
и
0; 0, 25; 0, 5; 0, 75; 1
ϑ =
(кривые
1
) и графики при
5
n
=
и
0; 0, 5;1
ϑ =
(кривые
2
) приведены на рис. 1.
С увеличением
n
производные
( )
x
ϕ
в окрестностях точек
0
x
=
и
1
x
=
возрас-
тают. Графики взаимно обратных МФ (6) с
*
1,
σ =
0, 3
A
=
(кривые
3
) также пока-
заны на рис. 1.
В качестве МФ ОС (1) также можно выбрать
(1 cos( / ))
C u A
ϕ = −
(с
,
A
ω= π
2 ,
x C
=
[arcsin ( / 1) 0, 5 ],
A x C
Φ =
− + π
[0; 2 ]
x
C
∈
) или
arctg ( / )
C u A
ϕ =
(
,
ω= ∞
/ 2,
x С
= π
tg ( / )).
A x C
Φ =