5 / 31
Анализ общих свойств кривых ползучести при ступенчатых нагружениях…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
97
соответствующая (в силу (4)) ФП имеет вид
−
Π =
1
( )
( )
u
t A C u t
и обладает не только
свойством
Π =
(0) 0,
как и СиМ, но и свойством
Π = ∞
(0) ,
переходным к
Π ≠
(0) 0,
характеризующему РеМ.
На ФП и ФР в ОС (1) наложим априори те же минимальные ограничения,
что и в линейной теории:
Π
( )
t
и
( )
R t
предполагаются положительными и диф-
ференцируемыми на
∞
(0; ),
ФП
Π
( )
t
— возрастающей и выпуклой вверх [49], а
ФР
( )
R t
— убывающей и выпуклой вниз на
∞
(0; ),
ФР может иметь интегриру-
емую особенность или
δ
-сингулярность в точке
=
0
t
(слагаемое
ηδ
( )).
t
Из этих
условий, в частности, следует существование пределов
Π + = Π ≥
(0 ) inf ( ) 0,
t
+ =
>
(0 ) sup ( ) 0
R
R t
(
+ = +∞
(0 )
,
R
если ФР не ограничена сверху) и
Π +∞ ≥
( ) 0 и
+∞ ≥
( ) 0
R
[49, 50]. Так, семейство ФП
−λ
Π = α +β − γ
( )
,
t
t
t
e
λ >
0,
α β ≥
,
0,
γ∈ β
[0, ],
(5)
удовлетворяет этим ограничениям. Оно порождает все РеМ-4
при
γ∈ β
(0; ),
α β >
,
0,
а при
α =
0 — все РеМ-3. Поскольку
Π = β− γ
(0)
,
ФП (5) порождает
СиМ, когда
γ = β
:
при
λβ =
0
— ньютоновскую жидкость
= ηδ
(
( )),
R t
при
α =
0 — модель Фойгта (СиМ-2), при
α >
0 — все СиМ-3
−μ
= ηδ +
(
( )
).
t
R t Ee
При
γ =
0
(5) дает модель Максвелла (РеМ-2). Случай
γ <
0
приводит к нару-
шению ограничения
Π ≤
( ) 0,
t
что влечет возрастание кривой обратной ползу-
чести при нулевом напряжении (противоречие с данными испытаний материа-
лов) [49].
На МФ
ϕ
( )
u
в ОС (1) наложим следующие минимальные первичные
требования (дальнейший анализ покажет, потребуется ли дополнить их список)
[43]:
ϕ
( ),
u
− +
∈ ω ω
( ;
),
u
непрерывно дифференцируема и строго возрастает на
−
+
ω
ω
( ; 0) (0;
)
(
− +
ω ω <
0
), причем
ϕ + = ϕ − =
(0 ) (0 ) 0
(иначе входному процессу
ε ≡
( ) 0
t
соответствует ненулевой отклик
σ
( )).
t
Формально возможны случаи
−
ω = −∞
,
+
ω = +∞
(как и в работах [12–19]) и
′ϕ = +∞
(0)
.
Для материалов с
одинаковым поведением при растяжении и сжатии МФ
ϕ
( )
u
нечетна и
−
+
ω = −ω
.
Из возрастания функции
ϕ
( )
u
следует существование обратной функции
−
Φ = ϕ
1
:
на промежутке
Φ
=
( ; ),
D x x
где
+
= ϕ = ϕ ω −
: sup ( ) (
0),
x
u
−
= ϕ = ϕ ω +
: inf ( ) (
0),
x
u
и обратимость ОС (1). Если
< +∞
,
x
то при
+
ω = ∞
Φ
( )
x
имеет вертикальную
асимптоту
=
,
x x
а при
+
ω < ∞
Φ
( )
x
непрерывно продолжается в точку
:
x
+
Φ = ω
( )
.
x
Если
> −∞
,
x
то при
−
ω = −∞
Φ
( )
x
имеет вертикальную асимптоту
=
,
x x
а при
−
ω > −∞
Φ
( )
x
непрерывно продолжается в точку :
x
−
Φ = ω
( )
.
x
Величины
x
и
x
— важные характеристики МФ
ϕ
и
Φ
,
существенно влияющие
на поведение теоретических кривых ОС (1) [43].
Конечность
+
ω
или
x
(или
−
ω
и
x
) означает, что в результате такого выбора
МФ, в ОС (1) встроен критерий разрушения при растяжении (или сжатии),
обеспечивающий обрыв определенных теоретических кривых (ползучести, де-