трехмерном случае (
N
= 3
) на сетке
1000
×
1000
×
1000
(
L
+
= 5
) —
19
%.
Б´ольшая эффективность распараллеливания УМТ в двумерном
случае (по сравнению с трехмерным) обусловлена меньшим числом
простаивающих процессоров (8 против 26) при сглаживании на самой
мелкой сетке.
Для иллюстрации приведенных выше допущений рассмотрим пер-
вую краевую задачу для уравнения
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
=
−
f
(
x, y, z
) =
1
3
exp
x
+
y
+
z
3
в единичном кубе, которая имеет точное решение
u
a
(
x, y, z
) = exp
x
+
y
+
z
3
,
откуда нетрудно найти соответствующие граничные условия. Числен-
ное решение данной задачи осуществим на пятиуровневой многосе-
точной структуре (
L
+
= 4
) с самой мелкой сеткой
201
×
201
×
201
,
начиная с нулевого начального приближения. В качестве сглаживаю-
щей процедуры на уровнях с грубыми сетками использован вариант
предобусловленного метода сопряженных градиентов, предложенный
в [12].
Равномерность загрузки процессоров в процессе выполнения сгла-
живающих итераций на уровнях с грубыми сетками может быть пока-
зана при вычислительных экспериментах на однопроцессорном ком-
пьютере. Положим, что для распараллеливания данной трехмерной
задачи (
N
= 3
) используется
p
= 3
N
= 27
процессоров. В соответ-
ствии со схемой, представленной на рис. 5, сглаживание на уровнях с
грубыми сетками состоит из выполнения одинакового числа итераций
предобусловленного метода сопряженных градиентов на 27 независи-
мых сетках первого уровня и их подсетках.
Пусть
T
i
есть время выполнения сглаживающих итераций пре-
добусловленного метода сопряженных градиентов на
i
-м процессоре
(
i
= 1
,
2
, . . . ,
27
). Определим среднее время
h
T
i
выполнения сглажи-
вающих итераций как среднее арифметическое значение:
h
T
i
=
1
3
N
3
N
X
i
=1
T
i
=
1
27
27
X
i
=1
T
i
.
В качестве меры равномерности загрузки процессоров выберем откло-
нение
T
i
от среднего времени
h
T
i
δ
T
=
h
T
i −
T
i
h
T
i
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
69
