где
~q
,
~p
— векторы, являющиеся действительными величинами, ортого-
нальными друг другу;
ψ
— угол между рассматриваемыми векторами.
Распространенное представление волнового вектора в комплексной
форме с условием совпадения пространственной ориентации действи-
тельной и мнимой компонент является частным случаем [2]. Такое
представление для непроводящих сред влечет необходимость обраще-
ния в нуль одного из слагаемых. Для падающей и отраженной волн
в нуль обращаются мнимые компоненты, а для преломленной волны
— действительная компонента волнового вектора. Далее это будет по-
казано как результат рассмотрения условий сопряжения решений для
волнового электромагнитного поля в среде 1 (падающая и отраженная
волны) и в среде 2 (преломленная волна).
Предположим, что электромагнитная волна падает на плоскую гра-
ницу раздела двух диэлектриков из среды 1 и частично проникает в
среду 2. В декартовой системе координат граница раздела описыва-
ется уравнением
z
= 0
. Ось
z
направлена во вторую среду, ось
x
—
так, чтобы проекция волнового вектора падающей волны на это напра-
вление была положительной, ось
y
достраивается так, чтобы система
координат оказалась правой. Физические величины, характеризующие
отраженную волну, обозначим нижним индексом “1”, физические ве-
личины, относящиеся к преломленной волне, — нижним индексом “2”,
физические величины, описывающие падающую волну, оставим без
нижнего индекса.
В общем случае пространственная ориентация волновых векторов
~k
=
~q
+
i ~p
,
~k
1
=
~q
1
+
i ~p
1
и
~k
2
=
~q
2
+
i ~p
2
должна быть определе-
на отдельно для действительных и мнимых компонент. Реализовать
это условие можно, если задать углы падения (
α
), отражения (
α
1
) и
преломления (
α
2
) для действительных компонент волновых векторов
и углы падения (
β
), отражения (
β
1
) и преломления (
β
2
) для мнимых
компонент волновых векторов. Пространственная ориентация в “дей-
ствительной” плоскости падения определяется ориентацией вектора
~q
(рис. 1,
а
), а в “мнимой” — ориентацией вектора
~p
(рис. 1,
б
).
Электромагнитное поле должно удовлетворять условиям сопряже-
ния на границе раздела двух сред, которые должны быть выполнены
для произвольного момента времени и для произвольной точки гра-
ницы раздела. Если векторы электромагнитного поля имеют вид (2),
то следствием условий сопряжения является требование совпадения
мгновенной фазы колебаний при
z
= 0
:
k
x
x
+
k
y
y
−
ωt
=
k
1
x
x
+
k
1
y
y
−
ω
1
t
=
k
2
x
x
+
k
2
y
y
−
ω
2
t
8
x, y, t,
отсюда
ω
=
ω
1
=
ω
2
;
k
x
=
k
1
x
=
k
2
x
;
k
y
=
k
1
y
=
k
2
y
.
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 3
