Обобщенная трехмерная теория устойчивости упругих тел. Ч. 1. Конечные деформации - page 15

Pξ = g/ 0
g(U−2 ·
I
Tξ · F−1 − 2F−1 · ε (w) · F −1т ·
I
T · F −1 −
−U−2 ·
I
T · F −1 · ∇ ⊗ wт + (∇ · w)U−2 ·
I
T · F−1).
Следовательно, уравнения (57) и (60) для модели AI нелинейно-
упругого тела примут вид
0
∇ ·((4
I
H (s) · ·
0
˜ε (w)) · F−1 − 2
0
˜ε(w) ·
I
T · F−1 −
−U −2 ·
I
T ·U −2 ·
0
∇⊗wт + (F−1т · ·
0
∇⊗ w)U−2 ·
I
T ·F−1 ) = 0;
(65)
0
˜ε (w) =
1
2
(U−2 ·
0
∇⊗w · F-1т + F−1 ·
0
∇⊗wт · U−2);
0
n ·((4
I
H (s) · ·
0
˜ε (w)) · F−1 − 2
0
˜ε(w) ·
I
T · F−1 −
− U−2 ·
I
T · U−2 ·
0
∇⊗wт + (F−1 т · ·
0
∇⊗w)U−2 ·
I
T ·F −1 ) 0
Σ σ
= 0;
w 0
Σ u
= 0.
Энергетические тензоры напряжений
I
T и
V
T в уравнениях (65) и
(63) определяются решением задачи равновесия основного состояния
(61). Для других моделей ( AII и AIV ) необходимо использовать общие
уравнения теории устойчивости (57) и (60).
Сравнивая получившиеся системы уравнений (63) и (65), а также
общую систему (57), (60) при различных значениях номера n моде-
ли материала, устанавливаем, что линеаризованная система уравне-
ний теории устойчивости различна для разных моделей нелинейно-
упругого поведения материала. Соответственно, будут отличаться и
критические внешние нагрузки, вызывающие потерю устойчивости
тел.
Выводы. Предложена обобщенная трехмерная теория устойчиво-
сти нелинейно-упругих тел для произвольных конечных деформаций,
основанная на понятии варьированной конфигурации нелинейно-
упругих сред и использовании обобщенных моделей нелинейно-
упругих сред, предложенных автором статьи, на базе пяти энергетиче-
ских пар тензоров напряжений–деформаций. Показано, что итоговые
уравнения трехмерной теории устойчивости отличаются друг от дру-
га при различных моделях нелинейно-упругих сред. Для двух типов
моделей, использующих правые тензоры деформации Коши–Грина
и Альманзи, получены явные аналитические представления уравне-
ний теории устойчивости, не требующие использования процедуры
вычисления собственных значений тензора искажений.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4 93