можно рассматривать функции
u(
μ
)
и
(
n
)
T(
μ
)
. Подставим тензор напря-
жений
(
n
)
T(
μ
)
в систему уравнений (57), (60) и включим параметр
μ
в
число неизвестных параметров задачи устойчивости наряду с векто-
ром
w
. Следовательно, эта задача имеет следующую формулировку:
найти такие значения параметра
μ
, при которых система уравнений
(57), (60) имеетнетривиальное решение
w
. Эт о и ест ь задача на соб-
ственные значения. Она решается совместно с основной задачей не-
линейной теории упругости, поскольку в уравнения (57), (60) входит
тензор
(
n
)
T(
μ
)
, являющийся решением задачи (61).
Уравнения теории устойчивости для моделей
A
I
и
A
V
нелиней-
но-упругих сред.
Наиболее простой вид формулы (51) и (52) имеют
для модели
A
V
:
T = F
·
V
T
·
F
т
; P = g
0
g
V
T
·
F
т
.
(62)
Дифференцируя соотношения (62) по параметру
ξ
с учетом формул
(14), получаем
T
ξ
= F
·
V
T
ξ
·
F
т
+
∇ ⊗
w
т
·
F
·
V
T
·
F
т
+ F
·
V
T
·
F
т
· ∇ ⊗
w;
P
ξ
= g
/
0
g
V
T
ξ
·
F
т
+ g
0
g (
∇ ·
w)
V
T
·
F
т
+ g
0
g
V
T
·
F
т
· ∇ ⊗
w
.
Тогда система уравнений (57), (60) для модели
A
V
нелинейно-
упругого тела с учетом (14), (21), (50) принимает вид
0
∇ ·
4
V
H
(
s
)
· ·
0
ε
(w)
·
F
т
+
V
T
·
0
∇ ⊗
w + (F
−
1
т
· ·
0
∇ ⊗
w)
V
T
·
F
т
= 0;
0
ε
(w) =
1
2
(
0
∇ ⊗
w
·
F + F
т
·
0
∇ ⊗
w
т
);
0
n
·
4 V
H
(
s
)
· ·
0
ε
(w)
·
F
т
+
V
T
·
0
∇⊗
w + (F
−
1
т
· ·
0
∇⊗
w)
V
T
·
F
т
0
Σ
σ
= 0;
w
0
Σ
u
= 0
.
(63)
Запишем формулы (51) и (52) для модели
A
I
:
T = F
−
1
т
·
I
T
·
F
−
1
,
P = g
/
0
gU
−
2
·
I
T
·
F
−
1
.
(64)
Дифференцируя соотношения (64) по параметру
ξ
с учетом (16), на-
ходим
T
ξ
= F
−
1
т
·
I
T
ξ
·
F
−
1
−∇⊗
w
·
F
−
1
т
·
I
T
·
F
−
1
−
F
−
1
т
·
I
T
·
F
−
1
· ∇⊗
w
т
;
92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
