перемещений
u
e
на части поверхности
0
Σ
u
, т огда
0
n
·
P
0
Σ
σ
= S
e
;
u
0
Σ
u
= u
e
.
(58)
Дифференцируя (58) и используя представление вида (2) для вариации
вектора перемещений
u = x
−
0
x = x +
ξ
w
−
0
x = u +
ξ
w
и
u
0
Σ
u
= u
e
,
получаем
0
n
·
P
0
Σ
σ
= 0
,
w
0
Σ
u
= 0
.
(59)
После подстановки (54) в (59) запишем граничные условия в виде
0
n
·
6
(
n
)
R
0т
· ·
(
n
)
T+
4
(
n
)
H
(
s
)
· ·
4
(
n
)
U
· ·
ε
(w) +
6
(
n
)
R
0т
· ·
(
n
)
T
· ·
˜
ε
(w)
0
Σ
σ
=0;
w
0
Σ
u
= 0
.
(60)
Система уравнений (57) и (60) образует искомую постановку задачи
теории устойчивости нелинейно-упругого тела. Эта задача линейна
относительно вектора неизвестных функций
w
, имеетвторой поря-
док производных и однородна, т.е. допускает тривиальное решение
(
w
≡
0
). Решением задачи устойчивости является именно нетриви-
альное решение (
w = 0
). Тривиальное решение соответствует устой-
чивому равновесию тела, а нетривиальное — неустойчивому.
Формулировка задачи теории устойчивости в виде (57), (60) отно-
сит ее к классу задач на собственные значения. Действительно, наряду
с задачей теории устойчивости рассмотрим исходную задачу равнове-
сия тела в конфигурации
K
в лагранжевом описании:
0
∇ ·
P = 0;
P =
4
(
n
)
E
0
· ·
(
n
)
T;
(
n
)
T =
r
γ
=1
ϕ
γ
I
(
s
)
γ
C
(
(
n
)
C);
(
n
)
C =
1
n
−
III
(U
n
−
III
−
E);
(61)
U
2
= F
т
·
F; F = E +
0
∇ ⊗
u
т
;
0
n
·
P
0
Σ
σ
=
μ
0
S
e
; u
0
Σ
u
=
μ
0
u
e
,
где
μ
— введенный скалярный параметр, являющийся множителем
при векторах внешних поверхностных сил
S
e
и перемещений
u
e
. По-
лагаем, что решение этой задачи относительно вектора перемещений
u
найдено при значениях
μ
из некоторого интервала (
μ
1
, μ
2
), тогда
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
91
