Пусть образец занимает некоторую область
Ξ
пространства, ко-
торую разделим на область
Ω
,
занимаемую проводящим материалом,
и области диэлектрических пор
ω
i
.
Символами
∂
Ω
и
∂ω
i
обозначим
границы этих областей. Положим, что проводящий материал имеет
проводимость
σ
0
и удельное сопротивление
ρ
0
= 1
/σ
0
.
Плотность электрического тока в материале подчиняется уравне-
нию
div
j
= 0
,
выражающему закон сохранения полного заряда.
Электрическое поле удовлетворяет уравнению
rot
E
= 0
и является
потенциальным.
Связь плотности тока
j
и напряженности поля
E
определяется свой-
ствами вещества и выражается законом Ома
j
=
σE.
В однородном проводнике
σ
0
=
const, откуда div
E
= 0
. Поэто-
му в нем потенциал
u
электрического поля удовлетворяет уравнению
Лапласа
−
Δ
u
= 0
,
(
x, y, z
)
2
Ω
.
На границах раздела пор и проводника нормальные компоненты
плотности тока и напряженности обращаются в нуль (изнутри, из под-
области
Ω
):
j
n
= 0
или
E
n
= 0
,
(
x, y, z
)
2
∂ω
i
.
(49)
К решению поставленной задачи для определения электрического
потенциала
u
применен МКСЭ. На части границы области
S
±
∂
Ξ
заданы значения потенциалов
u
= 0
и
u
= 1
,
на оставшейся части —
условия изоляции
E
n
= 0
.
Расчетная область разбита на подобласти-суперэлементы плоско-
стями, перпендикулярными осям декартовой системы координат. Под-
области пор в материале расположены строго внутри суперэлементов.
С узлов на каждую грань суперэлемента граничные базисные функции
продолжены конечно-элементной интерполяцией решения с линейной,
квадратичной или кубической функциями форм.
Значения модуля плотности и потенциала в сечениях области для
материала с несколькими кубическими порами показаны на рис. 1 и 2.
Область
Ξ
представляет собой куб. На верхней грани куба задан еди-
ничный потенциал, на нижней — нулевой. При расчете использовано
5
3
суперэлементов и квадратичный способ граничной интерполяции.
При использовании интерполянтов высокого порядка МКСЭ позво-
ляет получить физически корректное решение на небольшом числе
элементов.
24
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
