Замечание.
Доказательство для случая
L
=
P
K
−
1
и
f
2
H
K
(
I
)
,
K
2
Z
,
дано в [27] (лемма Брэмбла–Гильберта). При соответствующей
замене оно совпадает с полученным в утверждении.
Следствие 2.
Пусть
π
ν
(
u
) :
H
r
(
I
)
→ P
ν
(
I
)
, ν
+ 1
≤
r,
есть
проекция на
P
ν
(
I
)
.
Тогда для всех
u
2
H
r
(
I
)
справедлива следующая
оценка погрешности интерполяции в пространстве
H
1
/
2
(
I
) :
k
u
−
π
ν
(
u
)
k
H
1/2
(
I
)
≤
C
|
I
|
ν
+1
|
u
|
H
ν
+1
(
I
)
,
где константа
C
=
C
(
π
ν
)
,
откуда
ε
ν
(
u
)
H
1/2
(
I
)
≤
C
|
I
|
ν
+1
|
u
|
H
ν
+1
(
I
)
.
H
Из утверждения 5 при
ν
+ 1 =
r, L
=
P
ν
(
I
)
H
ν
+1
=
H
r
и
f
(
u
) = [
u
−
π
ν
(
u
)]
получим
|
u
−
π
ν
(
u
)
| ≤
C
1
(
I
)
∙ k
E
−
π
ν
k
H
−
ν
−
1
|
u
|
H
ν
+1
,
где через
E
обозначен единичный оператор.
Теперь запишем утверждение 5 для
u
(1)
2
H
r
−
1
(
I
)
при
L
=
=
P
ν
−
1
(
I
)
H
ν
=
H
r
−
1
, f
(
u
(1)
) = [
u
(1)
−
π
ν
−
1
(
u
(1)
)] :
u
(1)
−
π
ν
−
1
(
u
(1)
)
≤
C
1
(
I
)
∙ k
E
−
π
ν
−
1
k
H
−
ν
u
(1)
H
ν
=
=
C
1
(
I
)
∙ k
E
−
π
ν
−
1
k
H
−
ν
|
u
|
H
ν
+1
.
Поскольку
π
ν
(
u
)
2 P
ν
(
I
)
,
где
P
ν
(
I
)
— множество всех полино-
мов степени не выше
ν,
то неравенства, полученные для
ν
+ 1 =
r
,
сохраняют смысл и при показателе
ν
+ 1
≤
r
.
Зададимся конкретным отрезком
I
0
= [0
,
1]
,
для которого запишем
полученный результат, a именно из интерполяционного неравенства и
выведенных соотношений получим для пространства
H
1
/
2
(
I
0
)
:
8
u
2
H
r
(
I
0
)
ε
ν
(
u
)
H
1/2
(
I
0
)
≤
C
(
π
ν
, I
0
)
∙ |
u
|
H
ν
+1
(
I
0
)
.
Тогда из соотношений
|
u
|
H
r
(
I
o
)
=
|
I
|
r
−
1/2
|
u
|
H
r
(
I
)
,
k
u
k
L
2
(
I
o
)
=
|
I
|
−
1/2
k
u
k
L
2
(
I
)
с учетом (13) следует нужное нам неравенство
8
u
2
H
r
(
I
)
ε
ν
(
u
)
H
1/2
(
I
)
≤ k
u
−
π
ν
(
u
)
k
H
1/2
(
I
)
≤
C
(
π
ν
)
∙ |
I
|
ν
+1
|
u
|
H
ν
+1
(
I
)
.
Здесь константу
C
(
π
ν
)
можно взять в виде
C
(
π
ν
) =
k
E
−
π
ν
k
H
−
ν
−
1
,
заметив, что
C
1
(
I
0
) = 1
для единичного отрезка
I
0
.
H
Утверждение 6.
Пусть вариант МКСЭ соответствует сплайно-
вой интерполяции порядка не выше
ν
на границах суперэлементов S,
разбиение S равномерно с характерным шагом
|
I
|
суперэлементной
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
21
