сетки. Тогда для оценки погрешности решения
u
2
H
r
(
S
)
, r
2
R
,
в
пространстве
H
1
/
2
(
S
)
при
r
≥
ν
+ 1
справедливо соотношение
k
u
−
ˉ
u
k
H
1/2
(
S
)
≤
C
∙ |
I
|
ν
+1
|
u
|
H
ν
+1
(
S
)
.
(45)
H
Из соотношения (13) следует
k
u
−
ˉ
u
k
H
1/2
(
S
)
≤
C
0
u
−
π
N
ν
(
u
)
H
1/2
(
S
)
,
где
C
0
определена формулой (15).
Тогда при переходе от
S
к элементарному отрезку
I
имеем
k
u
−
ˉ
u
k
H
1/2
(
S
)
≤
C
0
dim
I
kl
X
j
=1
k
u
−
π
ν
(
u
)
k
H
1/2
(
I
kl
)
,
(46)
откуда, применяя результат следствия 2, получаем требуемое нера-
венство. При этом
C
=
C
0
C
(
π
ν
)
и константа
C
(
π
ν
)
соответствует
введенной в следствии 2.
Отметим, что выведенные ранее оценки погрешности прибли-
женного решения
k
u
−
ˉ
u
k
H
1/2
(
S
)
получены из обобщения неравенства
Джексона без использования оценки интерполяции (см. утвержде-
ние 4). В данном случае используем оценку погрешности интерполя-
ции
u
−
π
N
ν
(
u
)
H
1/2
(
S
)
,
отсюда и появление константы
C
(
π
ν
)
. Можно
определить иную константу
C
. Используя следствие 2 и тот факт, что
k
u
−
ˉ
u
k
H
1/2
(
S
)
≤
const
∙ k
u
−
ˉ
u
k
H
ν
+1
(
S
)
, получаем также соотноше-
ние (45), где константа
C
есть константа неравенства вложения для
пространств
H
1
/
2
(
S
)
и
H
ν
+1
(
S
)
.
H
Априорные оценки погрешностей решения МКСЭ в простран-
стве
H
1
(Ω)
.
Сведем полученные результаты, обобщая их на область
Ω
.
Основные оценки погрешностей получены как зависимые от гладкости
следа
u
на границе
S
для пространств
H
r
(
S
)
.
Ясно, что пространство
H
R
(Ω)
вложено в пространство
H
R
(Ω)
всех функций из
H
1
(Ω)
,
име-
ющих следы класса
H
r
(
S
) =
Q
k,l
H
R
−
1
/
2
(
I
kl
)
на
S,
(см. (23)). Поэтому
справедлива оценка
8
u
2
H
R
(
Ω
)
γ
0
u
H
r
(
S
)
6
c
k
u
k
H
R
(Ω)
(47)
с учетом (24), где
c
=
const. Изоморфизм между
H
1
/
2
(
S
)
и
H
1
(Ω)
,
выраженный соотношением (20), дает
γ
0
u
−
γ
0
ˉ
u
H
1
/
2
(
S
)
' k
u
−
ˉ
u
k
H
1
(Ω)
.
Принадлежность
u,
ˉ
u
2
H
1
(Ω)
H
1
(Ω)
приводит к эквивалентности
γ
0
u
−
γ
0
ˉ
u
H
1
/
2
(
S
)
' k
u
−
ˉ
u
k
H
1
(Ω)
,
(48)
причем справедливо равенство
k
u
−
ˉ
u
k
H
1
(Ω)
=
k
u
−
ˉ
u
k
H
1
(Ω)
.
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
