Пусть
N
= dim
L
и
f
i
,
1
≤
i
≤
N,
— базис двойственного к
L
пространства. В силу теоремы Хана–Банаха о продолжении линейных
непрерывных функционалов существуют такие линейные непрерыв-
ные формы на
H
r
,
обозначаемые опять
f
i
,
1
≤
i
≤
N,
что
8
p
2
L
имеем
f
i
(
p
) = 0
,
p
= 0
.
Обозначим
G
(
v
) =
N
P
i
=1
|
f
i
(
v
)
|
.
Если показать справедливость неравенства
k
v
k
H
r
≤
C
(
I
)
∙
[
|
v
|
H
r
+
G
(
v
)]
,
8
v
2
H
r
(
I
)
,
(42)
то из него последует (41). Действительно, фиксируя
v,
мы всегда мо-
жем подобрать такой элемент
q
2
L,
что
G
(
v
+
q
) = 0
.
Тогда в силу
(42) и принадлежности
q
2
ker
|∙ |
H
r
=
L
имеем
inf
p
2
L
k
v
+
p
k
H
r
≤ k
v
+
q
k
H
r
≤
C
(
I
)
∙ |
v
+
q
|
H
r
=
C
(
I
)
∙ |
v
|
H
r
.
Методом от противного докажем справедливость неравенства (42).
Предположим, что (42) не верно. Тогда существует такая последова-
тельность
{
v
n
}
∞
n
=1
, v
n
2
H
r
,
что
k
v
n
k
H
r
= 1
и
lim
n
→∞
[
|
v
n
|
H
r
+
G
(
v
n
)] = 0
.
(43)
Отсюда следует
lim
n
→∞
|
v
n
|
H
r
= 0
,
(44)
а из ограниченности
{
v
n
}
∞
n
=1
в
H
r
— существование в
H
r
последова-
тельности
{
w
n
}
∞
n
=1
,
фундаментальной в
H
r
и удовлетворяющей (43).
Обозначим ее снова
{
v
n
}
∞
n
=1
.
Как известно,
H
r
L
2
, L
2
— банахово
и
H
r
замкнуто в нем. Значит, последовательность
{
v
n
}
∞
n
=1
сходится к
некоторому элементу
v
из
H
r
:
lim
n
→∞
k
v
n
−
v
k
H
r
= 0
.
Из (44) имеем
lim
n
→∞
v
(
r
)
n
L
2
= 0
, а следовательно,
v
(
r
)
= 0
и
v
2
ker
|∙ |
H
r
=
L
. Тогда, используя (43), получаем
f
i
(
v
) = lim
n
→∞
f
i
(
v
n
)
H
r
= 0
,
откуда
v
= 0
в силу свойств линейных форм
f
i
.
Это противоречит
равенству
k
v
k
H
r
= 1
(см. (43)). Значит, неравенство (42) справедливо.
3. Окончательно, объединяя пункты 1, 2 доказательства, получаем
выражение (40):
8
v
2
H
r
(
I
)
|
f
(
v
)
| ≤
C
k
f
k
H
−
r
|
v
|
H
r
.
H
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
