Утверждение 4.
Вариант МКСЭ, соответствующий сплайновой
интерполяции на границах суперэлементов
S
на равномерной сетке,
имеет насыщение по гладкости в пространстве
H
1/2
(
S
)
на классах
H
r
(
S
)
, r >
1/2
, r
2
R
.
Классом насыщения является
H
ν
+1
(
S
)
, по-
рядком насыщения —
O
(
N
−
r
)
. При этом для
ν
≥
r
−
1
выполнены
условия
k
u
−
ˉ
u
k
H
1/2
(
S
)
≤
Cε
N
ν
(
u
)
1/2
≤
C
M
1
/
2
r
M
1
/
2
r
−
1
(
ν
+ 1)
r
−
1
/
2
|
I
|
r
|
u
|
H
r
(
S
)
,
δ
N
ν
H
r
≤
C
ν,r
|
S
|
r
|
u
|
H
r
∙
1
N
r
.
Константы
M
r
, M
r
−
1/2
зависят только от
r
; константа
C
ν,r
— от
ν
и r; константа
C
определена соотношением
(15)
.
H
1. Из утверждения 3 и соотношений (27), (28) легко показать
сходимость метода на классах
H
r
(
S
)
:
lim
n
→∞
δ
N
ν
H
r
= 0
при
r
≤
r
0
=
ν
+ 1
.
Из (27), (28) имеем
δ
N
ν
H
r
≤
1 +
π
N
ν
sup
u
2
H
r
(
S
)
ε
N
ν
(
u
)
1/2
= 1 +
π
N
ν
sup
I
k
sup
u
2
H
r
(
I
k
)
ε
ν
(
u
)
1/2
.
Тогда утверждение 3 дает
δ
N
ν
H
r
≤
1 +
π
N
ν
|
u
|
H
r
|
I
|
r
M
1
/
2
r
M
1
/
2
r
−
1
1
(
ν
+ 1)
r
−
1
/
2
.
В этом выражении необходимо сделать замену
|
I
|
=
|
S
|
ν
/(
N
−
1)
,
(37)
где
|
S
|
— суммарная длина всей границы
S
,
(
N
−
1)/
ν
— число от-
резков
I
kl
, разбивающих эту границу, и
|
I
|
=
|
I
kl
| 8
k, l,
поскольку
разбиение равномерно. Такая замена следует непосредственно из спо-
соба построения сплайна порядка
ν
на
S
[10]. Тогда при
ν
≥
1
, r >
1
/
2
несложно получить следующий результат:
δ
N
ν
H
r
≤
1 +
π
N
ν
M
1
/
2
r
M
1
/
2
r
−
1
|
u
|
H
r
|
2
S
|
r
1
N
r
,
или
δ
N
ν
H
r
≤
C
ν,r
|
S
|
r
|
u
|
H
r
1
N
r
N
→∞
−→
0
,
где константа
C
ν,r
зависит только от
ν
и
r
. Порядок сходимости
O
(
N
−
r
)
.
2. Покажем, что выполнено следующее требование в определении
насыщаемости, а именно
9
r
0
:
δ
N
ν
H
s
=
o δ
N
ν
H
r
при
r < s
≤
r
0
и
r
0
=
ν
+ 1
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
17
