справедливо соотношение
k
u
−
ˉ
u
k
L
2
(
S
)
≤
Cε
N
ν
(
u
)
1/2
≤
C
|
I
|
r
M
r
(
ν
+ 1)
r
|
u
|
H
r
(
S
)
,
где константа
С
определена соотношением
(15)
.
Замечание.
Если рассматривать утверждение 4 только на полуце-
лых классах
r
= 3
/
2
,
5
/
2
, . . .
, то класс насыщения —
H
ν
+1
/
2
(
S
)
, ν
≥
1
.
Оценки погрешностей для случая
ν
≤
r
−
1
.
Ранее показан факт
насыщаемости и получены оценки ошибок МКСЭ для случая
ν
≥
r
−
1
.
Покажем оценки при
ν < r
−
1
,
тем самым несколько уточнив эти
результаты.
Результаты этого параграфа могут быть получены с использовани-
ем K-метода Петре аналогично тому, как это сделано в утверждении 3.
Исходной точкой будет являться классическое неравенство для оценки
величины наилучшего приближения вида [14, 26, 27]
ε
ν
(
u
)
L
2
(
I
)
≤ k
u
−
π
ν
(
u
)
k
L
2
(
I
)
≤
C
∙ |
I
|
ν
+1
|
u
|
H
ν
+1
(
I
)
(39)
для функции
u
2
H
R
(
I
)
, R >
0
, R
2
Z,
из пространства Соболева с
целыми индексами в пространстве
L
2
(
I
)
.
Выведем оценку погрешности приближенного решения иным спо-
собом, с использованием обобщения леммы Брэмбла–Гильберта. В
этом случае доказательство можно провести без использования уже
известных соотношений типа (39). Важна и сама схема. Так или иначе,
получение априорных оценок погрешностей при условиях, необходи-
мых, чтобы получить аппроксимацию повышенного порядка точности,
при рассмотрении стандартных методов может быть сведено к едино-
му процессу.
Утверждение 5.
Пусть
L H
r
(
I
)
— такое множество, что
dim
L <
∞
и
p
2
L
, |
p
|
H
r
= 0
(или
L
=
ker
|∙ |
H
r
). Если функция
f
:
H
r
(
I
)
→
H
r
(
I
)
непрерывна, линейна и обладает свойством
8
p
2
L
:
f
(
p
) = 0
,
тогда
9
C
=
C
(
I
) :
8
v
2
H
r
(
I
)
выполнено
|
f
(
v
)
| ≤
C
k
f
k
H
−
r
(
I
)
|
v
|
H
r
(
I
)
.
(40)
H
1. Пусть
v
2
H
r
— произвольная функция. Поскольку по пред-
положению
f
(
v
) =
f
(
v
+
p
)
8
p
2
L,
то можно записать
8
p
2
L
|
f
(
v
)
|
=
|
f
(
v
+
p
)
| ≤ k
f
k
H
−
r
k
v
+
p
k
H
r
и, следовательно,
|
f
(
v
)
| ≤ k
f
k
H
−
r
inf
p
2
L
k
v
+
p
k
H
r
.
2. Покажем, что
9
C
=
C
(
I
)
:
8
v
2
H
r
(
I
) inf
p
2
L
k
v
+
p
k
H
r
≤
C
|
v
|
H
r
.
(41)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
19
