Запишем
δ
N
ν
H
s
δ
N
ν
H
r
≤
1 +
π
N
ν
M
1
/
2
s
M
1
/
2
s
−
1
A
r
|
u
|
H
s
|
I
|
s
−
r
(
ν
+ 1)
s
−
r
−
1
/
2
;
(38)
ν
≥
1
, s
−
r >
1
/
2
. Здесь оценка сверху числителя
δ
N
ν
H
s
взята из
первого пункта доказательства. Для оценки знаменателя
δ
N
ν
H
r
снизу
использована оценка величины поперечника Колмогорова
inf
P
N
ν
(
S
)
sup
u
2
H
r
(
S
)
ε
N
ν
(
u
)
1/2
,
имеющая место как для целых, так и для дроб-
ных классов
H
r
при
r >
1/2
[17]:
δ
N
ν
H
r
≥
sup
u
2
H
r
(
S
)
ε
N
ν
(
u
)
1/2
≥
inf
P
N
ν
(
S
)
sup
u
2
H
r
(
S
)
ε
N
ν
(
u
)
1/2
≥
A
r
1
(
ν
+ 1)
r
с учетом соотношения (26). Константа
A
r
зависит только от
r.
Тогда
из (38) с использованием замены (37) следует
δ
N
ν
H
s
δ
N
ν
H
r
≤
1 +
π
N
ν
M
1
/
2
s
M
1
/
2
s
−
1
A
r
|
2
S
|
s
−
r
|
u
|
H
s
1
N
s
−
r
;
δ
N
ν
H
s
δ
N
ν
H
r
≤
C
ν,r,s
1
N
s
−
r
N
→∞
−→
0
для
r < s
≤
ν
+ 1
.
3. Осталось показать справедливость при
r > ν
+ 1
следующего
предложения:
9
u
2
H
r
(
S
)
и не зависящая от
ν
константа
c >
0
, такая, что
u
−
π
N
ν
(
u
)
H
1/2
(
S
)
≥
cδ
N
ν
H
ν
+1
.
Это следует непосредственно из насыщаемости сплайновой аппрок-
симации в пространстве с произвольным целочисленным индексом,
например в пространстве
L
2
, а именно согласно [18] можем указать
такой элемент
y
2
H
r
(
S
)
,
что
y
−
π
N
ν
(
y
)
L
2
N
→∞
−→
+
∞
.
Тогда, исполь-
зуя интерполяционное неравенство [25], получаем
y
−
π
N
ν
(
y
)
H
1/2
≤
c
1
/
2
y
−
π
N
ν
(
y
)
L
2
y
−
π
N
ν
(
y
)
H
1
N
→∞
−→
+
∞
.
Тем самым по результатам пунктов 1, 2, 3 насыщаемость доказана.
4. Оценка погрешности приближенного решения не использует
оценку интерполяции
u
−
π
N
ν
(
u
)
H
1/2
(
S
)
из (26). Нужная нам оцен-
ка
k
u
−
ˉ
u
k
H
1/2
(
S
)
следует непосредственно из результата утверждения
3 и ранее выписанного соотношения (13). При этом
k
u
−
ˉ
u
k
H
1/2
(
S
)
=
=
P
I
kl
k
u
−
ˉ
u
k
H
1/2
(
I
kl
)
.
H
Следствие 1.
Для оценки погрешности решения
u
2
H
r
, r >
1/2
,
r
2
R
,
при тех же условиях в более широком пространстве
L
2
(
S
)
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
