Учтем утверждение 2 и определение
H
R
(Ω)
.
Тогда из соотношений
(46)–(48) и утверждений 2, 4, 6 получим следующее утверждение.
Утверждение 7.
Пусть МКСЭ соответствует интерполяции ла-
гранжевыми сплайнами на границах суперэлементов S, разбиение S
равномерно с характерным шагом сетки
|
I
|
.
Тогда МКСЭ имеет
насыщение по гладкости в пространстве
H
1
(Ω)
на классах
H
s
(Ω)
,
s >
1
, s
2
R.
Классом насыщения является
H
ν
+3
/
2
(Ω)
,
порядком
насыщения —
O
(1
/N
s
)
.
Справедливы следующие априорные оценки
погрешностей метода в пространстве
H
1
(Ω)
.
При
ν
≥
R
−
3
/
2
имеем
k
u
−
ˉ
u
k
H
1
(Ω)
≤
CM
1
/
2
R
−
1
/
2
M
1
/
2
R
−
3
/
2
1
(
ν
+ 1)
R
−
1
|
I
|
R
−
1
/
2
|
u
|
H
R
(Ω)
,
где константа
C
зависит от параметров исходного оператора и по-
стоянных в неравенствах вложения, а
M
R
−
1
/
2
,
M
R
−
3
/
2
зависят только
от
R
.
При
ν
≤
R
−
3
/
2
k
u
−
ˉ
u
k
H
1
(Ω)
≤
C
ν
∙ |
I
|
ν
+1
|
u
|
H
ν
+3
/
2
(Ω)
,
где константа
C
ν
зависит только от
ν
, параметров исходного опе-
ратора и постоянных неравенств вложения.
Повышение порядка полиномов на суперэлементных границах по-
влечет за собой аппроксимант более высокой точности МКСЭ в про-
странстве
H
1
(Ω)
(для
ν
≥
R
−
3
/
2)
.
Это охарактеризовано полученны-
ми оценками. Применение МКСЭ позволяет разрешать задачи, содер-
жащие мелкие сингулярности в расчетной области в пространстве сла-
бых решений с погрешностями, оцениваемыми только относительно
ограничений этого решения на гладких частях суперэлементных гра-
ниц
S
. Это не требует использования суперэлементных сеток, сгуща-
ющихся в окрестностях сингулярностей, и связано с выбором особых
аппроксимирующих пространств. Тем не менее в случае аппроксима-
ции при помощи МКСЭ производных решения в пространстве
H
1
(Ω)
такая ситуация изменится, а исследование потребует привлечения до-
полнительных фактов. Результаты по этому вопросу опубликованы в
работе [28].
Пример численного расчета распределения электрического по-
тенциала в проводящих объектах при помощи МКСЭ.
Приведем
пример применения метода конечных суперэлементов Федоренко для
расчета распределений электрического потенциала и плотности тока в
проводящих объектах. Материал проводника содержит малые диэлек-
трические поры. Рассмотрена трехмерная модель. Полное описание
вариантов алгоритма МКСЭ применительно к поставленной задаче и
полученных данных можно найти в работе [29].
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
23
