теоремы 2. Далее так же, как при доказательстве теоремы 2, получаем,
что при
L > V
>
1
отношение (17) должно монотонно строго возра-
стать по
U >
0
, а функции
˜Λ
V
(
U
)
и
˜Λ
L
(
U
)
должны пересекаться, по
крайней мере, в одной точке
U >
0
. Тогда
lim
U
→
0
V μ
V
Lμ
L
λ
μ
V
μ
1
U
λ
μ
L
μ
1
U
<
1
,
откуда следует (24).
Оценка (24), в частности, позволяет улучшить известную оценку
Барлоу и Прошана [2] для среднего времени безотказной работы по-
следовательной системы из ВФИ-элементов (с возрастающей функци-
ей интенсивности отказов). Пусть имеется последовательная система
из
n
независимых однотипных элементов с функцией интенсивности
отказов вида (23) (где
U
имеет смысл времени). Поскольку функция
(23) монотонно возрастает, то в соответствии с оценкой Барлоу и Про-
шана [2, с. 56] среднее время безотказной работы системы
μ
n
из
n
элементов удовлетворяет неравенству
μ
n
>
μ
1
n
,
где
μ
1
— время безотказной работы одного элемента. В то же время
неравенство (24) дает в этом случае
μ
n
>
μ
1
n
1
m
+1
.
Отметим, что не любое ВФИ-распределение (с возрастающей
функцией интенсивности отказов) удовлетворяет условию возра-
стания ведущей функции (9). В частности, примером такого ВФИ-
распределения является распределение Эрланга с плотностью вида
f
(
U
) =
CU
n
−
1
e
−
λU
,
где
C
— нормирующая константа;
λ
— параметр. Для этого распреде-
ления функция интенсивности отказов имеет вид
λ
(
U
) =
λ
n
U
n
−
1
C
0
+
C
1
(
λU
) +
. . .
+
C
n
−
1
(
λU
)
n
−
1
,
где
C
0
, . . . , C
n
−
1
— положительные коэффициенты (см., например,
[15]). Эта функция монотонно возрастает по
U
, но ее ведущая функ-
ция
λ
(
aU
)
λ
(
U
)
=
C
0
+
C
1
(
λU
) +
. . .
+
C
n
−
1
(
λU
)
n
−
1
C
0
+
C
1
(
aλU
) +
. . .
+
C
n
−
1
(
aλU
)
n
−
1
a
n
−
1
убывает по
U
при
a >
1
(что следует, например, из теоремы 4).
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
