При этом, если функция
(18)
строго возрастающая по
U >
0
нера-
венства
(19)
и
(20)
также строгие.
Функцию вида (9), где константа
a >
1
, далее будем называть
ведущей функцией. Рассмотрим некоторые частные случаи и след-
ствия из теорем 2, 3. Нетрудно видеть, что стандартное распреде-
ление Вейбулла–Гнеденко
P
(
t
) =
e
−
λU
α
имеет ведущую функцию
λ
(
aU
)
λ
(
U
)
≡
a
α
−
1
. Таким образом, для него коэффициент вариации
K
L
остается постоянным при увеличении
L
(в чем нетрудно убедиться
непосредственно из выражения для коэффициента вариации этого рас-
пределения). Второе условие теорем 2, 3 для этого распределения не
выполняется (кроме случая
α
= 1
, соответствующего экспоненциаль-
ному распределению), так как при
α >
1
λ
(0) = 0
, а при
α <
1
функция
λ
(
U
)
не удовлетворяет условию непрерывности в точке
U
= 0
.
Теорема 4.
Пусть функция интенсивности отказов
λ
(
U
)
— мно-
гочлен степени
n
с положительными коэффициентами
:
λ
(
U
) =
C
0
+
C
1
U
+
C
2
U
2
+
. . .
+
C
n
U
n
,
(21)
где все коэффициенты
C
i
>
0
, j
= 0
,
1
, . . . , n,
и
,
по крайней мере
,
два
из них отличны от нуля. Тогда при
a >
1
ее ведущая функция
λ
(
aU
)
λ
(
U
)
монотонно строго возрастает по
U >
0
.
Доказательство.
Для доказательства сформулируем леммы 2 и 3.
Лемма 2.
Пусть имеются две функции
λ
1
(
U
)
,
λ
2
(
U
)
с монотонно
возрастающими ведущими функциями
λ
1
(
aU
)
λ
1
(
U
)
,
λ
2
(
aU
)
λ
2
(
U
)
(
при
a >
1)
и
,
по крайней мере
,
одна из этих ведущих функций строго возраста-
ющая. Тогда функция
λ
(
U
) =
λ
1
(
U
)
λ
2
(
U
)
также имеет монотонно
строго возрастающую ведущую функцию
λ
(
aU
)
λ
(
U
)
.
Доказательство этой леммы очевидно.
Лемма 3.
Пусть функция
λ
(
U
)
имеет монотонно строго возра-
стающую ведущую функцию
λ
(
aU
)
λ
(
U
)
(
при
a >
1)
и
,
кроме того
,
функ-
ция
λ
(
U
)
выпукла вниз и имеет непрерывную первую производную
λ
0
(
U
)
на
[0
,
∞
)
. Тогда для любой константы
C
>
0
функция
˜
λ
(
U
) =
C
+
λ
(
U
)
также имеет монотонно строго возрастающую ведущую функцию
˜
λ
(
aU
)
˜
λ
(
U
)
(
при
a >
1)
.
Доказательство.
Вычисляя производную ведущей функции
λ
(
aU
)
λ
(
U
)
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
