из первого условия, получаем неравенство
aλ
0
(
aU
)
λ
(
U
)
−
λ
0
(
U
)
λ
(
aU
)
>
0
.
(22)
Вычисляя затем производную для ведущей функции
˜
λ
(
aU
)
˜
λ
(
U
)
, получаем
"
˜
λ
(
aU
)
˜
λ
(
U
)
#
0
=
C
+
λ
(
aU
)
C
+
λ
(
U
)
0
=
g
1
(
U
) +
g
2
(
u
)
[
C
+
λ
(
U
)]
2
,
где
g
1
(
U
) =
aλ
0
(
aU
)
λ
(
U
)
−
λ
0
(
U
)
λ
(
aU
);
g
2
(
U
) =
C
[
aλ
0
(
aU
)
−
λ
0
(
U
)]
.
Первое слагаемое в числителе
g
1
(
U
)
>
0
в силу неравенства (22).
Второе слагаемое
g
2
(
U
)
>
0
в силу выпуклости
λ
(
U
)
и, тем самым,
монотонного возрастания первой производной
λ
0
(
U
)
, что доказывает
лемму 3.
Обратимся к доказательству теоремы 4. Легко показать, что мно-
гочлен вида (21) степени
n
= 1
λ
(
U
) =
C
0
+
C
1
U
удовлетворяет теореме, т.е. имеет монотонно строго возрастающую
функцию (при
C
0
>
0
и
C
1
>
0)
. Далее теорема может быть легко
доказана по индукции на основании лемм 2 и 3. Предположим, что
утверждение теоремы справедливо при некотором
n
. Тогда при
n
+ 1
выражение (21) может быть представлено в виде
λ
(
U
) =
C
0
+
C
1
U
+
C
2
U
2
+
. . .
+
C
n
+1
U
n
+1
,
после чего теорема 4 следует из лемм 2 и 3.
Теорема 5.
Пусть функция интенсивности отказов
λ
(
U
)
— мно-
гочлен с положительными коэффициентами вида
λ
(
U
) =
C
m
U
m
+
U
(
C
1
+
C
2
U
+
∙ ∙ ∙
+
C
n
+1
U
n
)
,
(23)
где все коэффициенты
C
i
>
0
,
i
=
m, . . . , n
;
первый коэффициент
C
m
>
0
и хотя бы один из коэффициентов
C
m
+1
, . . . , C
n
отличен
от нуля. Тогда при возрастании длины
L
математическое ожидание
прочности
μ
L
удовлетворяет неравенству
:
μ
L
>
V
L
1
m
+1
μ
V
,
(24)
где
L > V
>
1
.
Доказательство.
В соответствии с теоремой 4 функция интенсив-
ности отказов вида (23) имеет монотонно строго возрастающую веду-
щую функцию (9) и, таким образом, удовлетворяет первому условию
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
79
