Покажем, что при
π
3
6
α
6
α
кр
эта величина строго монотонно возра-
стает. Рассмотрим функцию
g
(
α
) =
1
sin
α
1
−
cos
α
2
cos
α
2
2
=
1
−
cos
α
2
2
sin
α
cos
2
α
2
и вычислим ее производную
g
0
(
α
) =
1
−
cos
α
2
2
sin
2
α
cos
2
α
2
3 + 2 cos
α
2
−
2 cos
2
α
2
.
Знак производной
g
0
(
α
)
определяется знаком величины
3 + 2 cos
α
2
−
−
2 cos
2
α
2
. Обозначим
cos
α
2
=
t
и рассмотрим квадратный трехчлен
h
(
t
) = 3 + 2
t
−
2
t
2
. Его корни (рис. 11)
t
1
,
2
=
1
± √
1 + 6
2
=
1
± √
7
2
,
а так как
t
= cos
α
2
и
π
3
6
α
6
α
кр
= 2 arccos
√
17
−
1
4
!
, то
√
17
−
1
4
6
t
6
cos
π
6
=
√
3
2
, а на этом отрезке многочлен
h
(
t
)
по-
ложителен. Следовательно, при
π
3
6
α
6
α
кр
g
0
(
α
)
>
0
и функция
g
(
α
)
, а с ней и величина
Δ
1
δ
(
α
)
строго монотонно возрастают. При
этом
Δ
1
δ
π
3
=
π
3
√
3
7
−
4
√
3
≈
0
,
04341;
Δ
1
δ
(
α
кр
) =
π
2 sin (
α
кр
)
h
1
−
cos
α
кр
2
.
cos
α
кр
2
i
2
=
=
π
4
13
−
3
√
17
p
10
√
17
−
26
≈
0
,
12692
.
Рис. 11. График функции
h
(
t
)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 2
89
