P
σ
ij
(1)
=
1
3
σ
kk
δ
ij
, P
σ
ij
(2)
=
3
X
α
=1
σ
αα
δ
iα
δ
jα
−
1
3
σ
kk
δ
ij
,
P
σ
ij
(3)
=
σ
ij
−
3
X
α
=1
σ
αα
δ
iα
δ
jα
,
P
ε
ij
(1)
=
1
3
ε
kk
δ
ij
, P
ε
ij
(2)
=
3
X
α
=1
ε
αα
δ
iα
δ
jα
−
1
3
ε
kk
δ
ij
,
P
ε
ij
(3)
=
ε
ij
−
3
X
α
=1
ε
αα
δ
iα
δ
jα
.
(46)
Спектральные инварианты
I
σ
α
и
I
ˉ
ε
α
представляют собой свертки
соответствующих ортопроекторов
P
σ
ij
(
α
)
, P
ε
ij
(
α
)
:
I
σ
α
=
q
P
σ
ij
(
α
)
P
σ
ij
(
α
)
, I
ε
α
=
q
P
ε
ij
(
α
)
P
ε
ij
(
α
)
, α
= 1
,
2
,
3
,
(47)
и имеют следующий вид:
I
σ
1
=
1
3
σ
ii
, I
σ
2
=
1
√
3
p
(
σ
11
−
σ
22
)
2
+ (
σ
22
−
σ
33
)
2
+ (
σ
33
−
σ
11
)
2
,
I
σ
3
=
√
2
q
σ
2
12
+
σ
2
13
+
σ
2
23
,
I
ε
1
=
1
3
ˉ
ε
ii
, I
ε
2
=
1
√
3
p
(ˉ
ε
11
−
ˉ
ε
22
)
2
+ (ˉ
ε
22
−
ˉ
ε
33
)
2
+ (ˉ
ε
33
−
ˉ
ε
11
)
2
,
I
ε
3
=
√
2
q
ˉ
ε
2
12
+ ˉ
ε
2
13
+ ˉ
ε
2
23
.
Тогда эффективные определяющие соотношения (34) принимают сле-
дующий вид:
ˉ
σ
ij
= ˉ
F
ij
(ˉ
ε
pq
) =
ϕ
1
√
3
δ
ij
+
ϕ
2
I
ε
2
3
X
α
=1
δ
iα
δ
jα
ˉ
ε
αα
−
1
3
I
ε
1
δ
ij
+
+
ϕ
3
I
ε
3
ˉ
ε
ij
−
3
X
α
=1
δ
iα
δ
jα
ˉ
ε
αα
,
(48)
где функции
ϕ
α
связывают спектральные инварианты
I
σ
α
=
ϕ
α
(
I
ε
1
, I
ε
2
, I
ε
3
)
, α
= 1
,
2
,
3
,
(49)
и представляют собой искомые эффективные упруго-пластические ха-
рактеристики композита.
Функции
ϕ
α
(
I
ε
1
, I
ε
2
, I
ε
3
)
находились численным образом, процеду-
ра их вычисления была следующей. По формуле (33) вычислялись
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
39
