нормальной форме. Гладкой аффинной системе
˙
x
=
A
(
x
) +
B
(
x
)
u,
y
=
h
(
x
)
,
x
2
R
n
, u, y
2
R
1
,
A
(
x
) = (
a
1
(
x
)
, . . . , a
n
(
x
))
т
, B
(
x
) = (
b
1
(
x
)
, . . . , b
n
(
x
))
т
,
a
i
(
x
)
, b
i
(
x
)
, h
(
x
)
2
C
∞
(
R
n
)
, i
= 1
, n,
(1)
на
R
n
взаимно-однозначно соответствуют гладкие векторные поля
A
=
n
X
i
=1
a
i
(
x
)
∂
∂x
i
, B
=
n
X
i
=1
b
i
(
x
)
∂
∂x
i
.
Говорят, что выход
h
(
x
)
стационарной аффинной системы (1) имеет
в точке
x
0
относительную степень
ρ
, если
1)
L
B
L
i
A
h
(
x
)
— производные Ли по векторным полям
A
и
B
от
выхода равны нулю в некоторой окрестности точки
x
0
при
i < ρ
−
1
;
2)
L
B
L
ρ
−
1
A
h
(
x
0
)
6
= 0
.
Приведенные условия эквивалентны тому, что в некоторой окрест-
ности точки
x
0
производные от выхода
h
(
x
)
в силу системы (1) до
порядка
ρ
−
1
не содержат управления, а в производную порядка
ρ
управление входит с коэфициентом, отличным от нуля в точке
x
0
[1, 8].
Из второго свойства вытекает, что
B
(
x
0
)
6
= 0
. Поэтому в некоторой
окрестности точки
x
0
существуют
n
−
1
функционально независимых
первых интегралов векторного поля
B
. Из первого условия следует,
что функции
L
i
A
h
(
x
)
,
i
= 0
, ρ
−
2
, являются первыми интегралами
векторного поля
B
. Выполнение второго условия гарантирует локаль-
ную функциональную независимость функций
z
i
=
L
i
−
1
A
h
(
x
)
,
i
= 1
, ρ
.
Добавляя к множеству функций
z
i
,
i
= 1
, ρ
, еще
m
=
n
−
ρ
первых
интегралов
η
k
=
η
k
(
x
)
векторного поля
B
, в окрестности точки
x
0
можно получить невырожденную замену переменных
(
z
т
, η
т
)
т
= Φ(
x
)
,
где
z
= (
z
1
, . . . , z
ρ
)
т
,
η
= (
η
1
, . . . , η
m
)
т
,
ρ
+
m
=
n
. Для упроще-
ния записи в дальнейшем будем писать
(
z, η
) = Φ(
x
)
, опуская знаки
транспонирования.
В новых переменных система (1) запишется в виде
˙
z
1
=
z
2
, . . . ,
˙
z
ρ
−
1
=
z
ρ
,
˙
z
ρ
=
f
(
z, η
) +
g
(
z, η
)
u,
˙
η
=
q
(
z, η
)
,
y
=
z
1
,
(2)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
45
