функция Ляпунова
V
1
(
φ, t
)
и положительные константы
c
1
,
c
2
,
c
3
и
c
4
,
такие, что
c
1
k
φ
k
2
≤
V
1
(
φ, t
)
≤
c
2
k
φ
k
2
,
∂V
1
(
φ, t
)
∂t
+
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
ˉ
q
(0
, φ, t
)
≤ −
c
3
k
φ
k
2
,
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
≤
c
4
k
φ
k
.
(18)
Будем искать функцию Ляпунова для каскадной системы (11), (12)
в виде
V
(
e, φ, t
) =
V
1
(
φ, t
) +
kV
0
(
e
)
, где положительная константа
k
подлежит определению.
Представим производную функции
V
(
e, φ, t
)
в силу системы (11),
(12) в виде
˙
V
(
e, φ, t
) =
∂V
1
(
φ, t
)
∂t
+
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
ˉ
q
(
e, φ, t
)
−
k
k
e
k
2
=
=
∂V
1
(
φ, t
)
∂t
+
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
ˉ
q
(0
, φ, t
)+
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
(ˉ
q
(
e, φ, t
)
−
ˉ
q
(0
, φ, t
))
−
k
k
e
k
2
.
Пусть
Ω
— некоторая достаточно малая замкнутая ограниченная
окрестность точки
(
e, φ
) = (0
,
0)
. В
Ω
×
[0
,
+
∞
)
справедлива оценка
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
(ˉ
q
(
e, φ, t
)
−
ˉ
q
(0
, φ, t
))
≤
≤
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
k
(ˉ
q
(
e, φ, t
)
−
ˉ
q
(0
, φ, t
))
k ≤
γ
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
k
e
k ≤
≤
γc
4
k
φ
kk
e
k ≤
c
k
φ
kk
e
k
,
(19)
где
γ
= max
Ω
(
k
∂
ˉ
q
(
e, φ, t
)
/∂
(
e, φ
)
k
)
, а
c
=
γc
4
>
0
.
Таким образом, имеем
˙
V
(
e, φ, t
)
≤ −
c
3
k
φ
k
2
+
c
k
φ
kk
e
k −
k
k
e
k
2
.
(20)
Рассмотрим правую часть неравенства (20) как квадратичную фор-
му
ν
относительно двух переменных
k
φ
k
и
k
e
k
. Эта квадратичная
форма отрицательно определена, согласно критерию Сильвестра, при
k > c
2
/
4
c
3
. Следовательно, при указанном выборе константы
k >
0
производная
˙
V
(
e, φ, t
)
в силу системы (11), (12) отрицательно опреде-
лена в
Ω
, и справедлива оценка
˙
V
(
e, φ, t
)
≤
λ
k
(
e, φ
)
т
k
2
,
(21)
где
λ <
0
— максимальное по модулю собственное число матрицы
квадратичной формы
ν
.
52
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
