на основании которого имеем оценку
W
3
(
e, φ
)
≤
V
(
e, φ, t
)
≤
W
4
(
e, φ
)
,
где
W
3
(
e, φ
) =
α
1
(
k
φ
k
) +
k
√
e
т
Pe
,
W
4
(
e, φ
) =
α
2
(
k
φ
k
) +
k
√
e
т
Pe
—
непрерывные положительно определенные в некоторой окрестности
(
e, φ
) = (0
,
0)
функции. Следовательно, функция
V
(
e, φ, t
)
положи-
тельно определена.
Введенная функция
V
(
e, φ, t
)
не является дифференцируемой в
точках с
e
= 0
, однако производную функции
p
V
0
(
e
) =
√
e
т
Pe
в силу
сиcтемы (11), (12) при
e
= 0
можно доопределить по непрерывности.
Действительно,
λ
min
k
e
k
2
≤
e
т
Pe
≤
λ
max
k
e
k
2
,
(14)
где
λ
min
>
0
,
λ
max
>
0
— наименьшее и наибольшее собственные числа
матрицы
P
. Поэтому
1
2
√
λ
max
k
e
k ≤ k
e
k
2
2
√
e
т
Pe
≤
1
2
√
λ
min
k
e
k
,
(15)
а так как
d
p
V
0
(
e
)
dt
=
e
т
(
A
т
P
+
PA
)
e
2
√
e
т
Pe
=
− k
e
k
2
2
√
e
т
Pe
,
то с учетом соотношений (15) при
k
e
k →
0
производную
d
p
V
0
(
e
)
dt
можно доопределить по непрерывности нулем при
e
= 0
. Поэтому и
производную функции
V
(
e, φ, t
)
в силу системы (11), (12)
˙
V
(
e, φ, t
) =
∂V
1
(
φ, t
)
∂t
+
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
ˉ
q
(
e, φ, t
)
−
k
2
√
e
т
Pe
k
e
k
2
=
=
∂V
1
(
φ, t
)
∂t
+
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
ˉ
q
(0
, φ, t
) +
+
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
(ˉ
q
(
e, φ, t
)
−
ˉ
q
(0
, φ, t
))
−
k
2
√
e
т
Pe
k
e
k
2
можно рассматривать в окрестности точки
(
e, φ
) = (0
,
0)
при
t
≥
0
как
непрерывную функцию.
Пусть
Ω
— некоторая достаточно малая замкнутая ограниченная
окрестность точки
(
e, φ
) = (0
,
0)
. В
Ω
×
[0
,
+
∞
)
справедлива оценка
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
(ˉ
q
(
e, φ, t
)
−
ˉ
q
(0
, φ, t
))
≤
≤
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
k
(ˉ
q
(
e, φ, t
)
−
ˉ
q
(0
, φ, t
))
k ≤
γ
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
k
e
k ≤
≤
γα
4
(
k
φ
k
)
k
e
k ≤
c
k
e
k
,
(16)
50
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
