Равномерную асимптотическую устойчивость нулевой динамики
системы в отклонениях можно гарантировать для нормальной формы
˙
z
1
=
z
2
, . . . ,
˙
z
ρ
−
1
=
z
ρ
,
˙
z
ρ
=
f
(
z, η
) +
g
(
z, η
)
u,
˙
η
=
−
P
(
z
)
η,
y
=
z
1
,
z
2
R
ρ
, η
2
R
k
,
(28)
где
P
(
z
)
— квадратная матрица соответствующей размерности, эле-
менты которой — непрерывные функции.
Для программной траектории по части переменных
z
(
t
)
,
t
≥
0
,
решение задачи Коши
˙
η
=
−
P
(
z
(
t
))
η
,
η
|
t
=0
=
η
0
, определено при
t
≥
0
[10].
Система в отклонениях от программного движения имеет вид
˙
e
1
=
e
2
, . . . ,
˙
e
ρ
−
1
=
e
ρ
,
˙
e
ρ
= ˉ
f
(
e, φ
) + ˉ
g
(
e, φ
)
u,
˙
φ
=
−
P
(
e
+
z
(
t
))
φ
−
(
P
(
e
+
z
(
t
))
−
P
(
z
(
t
)))
η
(
t
)
,
ˉ
y
=
e
1
,
e
2
R
ρ
, , φ
2
R
m
, ρ
+
m
=
n,
(29)
где
ˉ
f
(
e, φ
)
и
ˉ
g
(
e, φ
)
имеют вид соотношений (8).
Пусть для динамической системы (28) задано изменение выхода
z
1
(
t
)
,
t
≥
0
, и
z
(
t
)
— соответствующая ему траектория по части
переменных, при которой положение равновесия
η
= 0
системы
˙
η
=
−
P
(
z
(
t
))
η
(30)
равномерно асимптотически устойчиво.
Вследствие линейности по
η
уравнения
˙
η
=
−
P
(
z
)
η
, нулевая
динамика системы в отклонениях (29) линейна по
φ
и имеет вид
˙
φ
=
−
P
(
z
(
t
))
φ
. Если положение равновесия системы (30) равно-
мерно асимптотически устойчиво, то положение равновесия
φ
= 0
нулевой динамики также равномерно асимптотически устойчиво.
Критерии равномерной асимптотической устойчивости линейных
систем вида (30) можно найти, например, в работе [11].
Пример.
Устойчивость нулевой динамики системы в отклонениях
сама по себе не гарантирует устойчивости программного движения си-
стемы, поскольку имеет место, когда по части переменных
z
система
точно следует по программной траектории. Если же по части пере-
менных
z
программная траектория неустойчива, без дополнительной
стабилизации реализация заданного программного движения может
оказаться невозможной.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
55
