Рассмотрим систему в нормальной форме
˙
z
1
=
z
2
, . . . ,
˙
z
ρ
−
1
=
z
ρ
,
˙
z
ρ
=
f
(
z, η
) +
g
(
z, η
)
u,
˙
η
=
−
p
(
z
)
η,
y
=
z
1
,
z
2
R
ρ
, η
2
R
1
,
(24)
определенную в
R
n
.
Пусть для системы (24) задано изменение выхода
z
1
(
t
)
,
t
≥
0
,
и
z
(
t
)
— соответствующая ему траектория по части переменных, а
p
(
z
(
t
))
— функция, непрерывная при
t
≥
0
. Тогда решение задачи
Коши
˙
η
=
−
p
(
z
(
t
))
η
,
η
|
t
=0
=
η
0
,
η
(
t
) =
η
0
e
−
R
t
0
p
(
z
(
τ
))
dτ
(25)
определено при
t
≥
0
, и однозначно определено программное движе-
ние
(
z
(
t
)
, η
(
t
)
, u
(
t
))
,
t
≥
0
.
Следовательно, система в отклонениях для соотношений (24)
˙
e
1
=
e
2
, . . . ,
˙
e
ρ
−
1
=
e
ρ
,
˙
e
ρ
= ˉ
f
(
e, φ
) + ˉ
g
(
e, φ
)
u,
˙
φ
=
−
p
(
e
+
z
(
t
))
φ
−
(
p
(
e
+
z
(
t
))
−
p
(
z
(
t
)))
η
(
t
)
,
ˉ
y
=
e
1
,
e
2
R
ρ
, φ
2
R
1
,
(26)
где
ˉ
f
(
e, φ
)
и
ˉ
g
(
e, φ
)
имеют вид (8), определена в
R
ρ
+1
×
[0
,
+
∞
)
.
Теорема 4.
Если найдется такая константа
c >
0
, что при
t
≥
0
имеет место неравенство
p
(
z
(
t
))
≥
c
, то положение равновесия
φ
= 0
нулевой динамики
˙
φ
=
−
p
(
z
(
t
))
φ
(27)
нестационарной системы (26) экспоненциально устойчиво в целом.
Доказательство.
Рассмотрим функцию
V
(
φ
) =
φ
2
2
. Ее производ-
ная, в силу системы (27),
˙
V
=
−
p
(
z
(
t
))
φ
2
≤ −
cφ
2
.
Из приведенных оценок [3, 9] следует, что положение равновесия
φ
= 0
экспоненциально устойчиво в целом, что завершает доказа-
тельство.
Отметим, что при выполнении условия
p
(
z
(
t
))
≥
c >
0
положение
равновесия
η
= 0
уравнения
˙
η
=
−
p
(
z
(
t
))
η
,
t
≥
0
, в системе (24)
также является экспоненциально устойчивым в целом.
54
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
