Задаче равномерной асимптотической стабилизации программного
движения
(
z
(
t
)
, η
(
t
)
, u
(
t
))
системы (2) соответствует задача равно-
мерной асимптотической стабилизации положения равновесия
e
= 0
,
φ
= 0
системы (7).
Система (7) по форме аналогична нормальной форме (2). Будем го-
ворить, что нестационарная система (7) записана в нормальной форме.
Систему уравнений
˙
φ
= ˉ
q
(0
, φ, t
)
,
(9)
где
ˉ
q
(0
,
0
, t
) = 0
, будем называть нулевой динамикой нестационарной
системы (7).
Если точка покоя
φ
= 0
нулевой динамики равномерно асимптоти-
чески устойчива, то аффинную систему (7) с выходом
y
=
e
1
будем
называть минимально-фазовой.
Стабилизация положения равновесия нестационарной мини-
мально-фазовой системы
. Рассмотрим задачу равномерной асимпто-
тической стабилизации положения равновесия системы (7).
Следуя работе [8], воспользуемся методом нелинейной стабилиза-
ции и выберем управление в виде
δu
=
−
ˉ
f
(
e, φ, t
) +
ρ
X
i
=1
c
i
−
1
e
i
ˉ
g
(
e, φ, t
)
,
(10)
где коэффициенты
c
j
,
j
= 0
, ρ
−
1
, таковы, что корни многочлена
λ
ρ
+
+
ρ
−
1
X
i
=0
c
i
λ
i
имеют отрицательные действительные части.
Первые
ρ
уравнений системы (7), замкнутой управлением (10),
примут вид
˙
e
=
Ae
, где
A
=
0 1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
0 0
. . .
1
−
с
0
−
с
1
. . .
−
c
ρ
−
1
,
и поэтому выделенная подсистема при указанном выше способе вы-
бора коэффициентов
c
i
асимптотически устойчива.
Условия, при которых нулевое положение равновесия системы (7)
при управлении (10) равномерно асимптотически устойчиво, дает сле-
дующая теорема.
Теорема 1.
Если нестационарная каскадная система
˙
e
=
Ae,
(11)
˙
φ
= ˉ
q
(
e, φ, t
)
,
ˉ
q
(0
,
0
, t
) = 0
,
(12)
48
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
