Для функции
V
(
e, φ, t
)
из неравенств (14), (18) получим
V
(
e, φ, t
) =
kV
1
(
φ
) +
V
0
(
e
)
≥
kc
1
k
φ
k
2
+
λ
min
k
e
k
2
≥
c
5
k
(
e, φ
)
т
k
2
,
(22)
V
(
e, φ, t
)
≤
kc
2
k
φ
k
2
+
λ
max
k
e
k
2
≤
c
6
k
(
e, φ
)
т
k
2
,
(23)
где
c
5
= min(
kc
1
, λ
min
)
,
c
6
= max(
kc
2
, λ
max
)
. Из полученных нера-
венств (21), (22) и (23), согласно работе [9], следует, что положение
равновесия
(
e, φ
) = (0
,
0)
локально экспоненциально устойчиво, что
завершает доказательство
теоремы 2
.
Если положение равновесия
φ
= 0
системы нулевой динамики
экспоненциально устойчиво в целом, то можно ожидать, что при до-
полнительных предположениях положение равновесия каскадной си-
стемы также будет экспоненциально устойчиво в целом. Имеет место
следующая теорема.
Теорема 3.
Если нестационарная каскадная система
(11)
,
(12)
такова, что функция
ˉ
q
(
e, φ, t
)
непрерывно дифференцируема в
R
n
,
матрица Якоби
∂
ˉ
q
(
e, φ, t
)
∂
(
e, φ
)
ограничена по норме в
R
n
равномерно по
t
,
положение равновесия
φ
= 0
системы нулевой динамики
˙
φ
= ˉ
q
(0
, φ, t
)
экспоненциально устойчиво в целом, а линейная подсистема
(11)
экс-
поненциально устойчива в точке
e
= 0
, то положение равновесия
(
e, φ
) = (0
,
0)
каскадной динамической системы
(11)
,
(12)
экспонен-
циально устойчиво в целом.
Доказательство этой теоремы в основных пунктах аналогично до-
казательству теоремы 2. Отличия состоят в том, что при выполнении
условий
теоремы 3
существует глобально определенная функция Ля-
пунова [9]
V
1
(
φ, t
)
, для которой глобально выполняются неравенства
(18). Оценка (19) (при
γ
= max
R
n
(
k
∂
ˉ
q
(
e, φ, t
)
/∂
(
e, φ
))
k
) также спра-
ведлива глобально. Соответственно, неравенства (21), (22) и (23) вы-
полняются в
R
n
, откуда вытекает экспоненциальная устойчивость в
целом положения равновесия
(
e, φ
) = (0
,
0)
каскадной системы.
Исследование равномерной асимптотической устойчивости или
экспоненциальной устойчивости нулевой динамики представляет
сложную проблему в силу сложности выражения
ˉ
q
(0
, φ, t
)
(см. (8)).
Однако для частных случаев можно указать в переменных
(
z, η
)
вид
стационарной нормальной формы, при котором требуемая устойчи-
вость нулевой динамики нестационарной системы в отклонениях
гарантируется.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
53
