который называют нормальной формой системы (1) в окрестно-
сти состояния
x
0
. Отметим, что из
L
B
L
ρ
−
1
A
h
(
x
0
)
6
= 0
следует, что
g
(Φ(
x
0
))
6
= 0
.
Если
x
0
— положение равновесия системы (1), то
A
(
x
0
) = 0
. Без
ограничения общности можно считать, что
h
(
x
0
) = 0
, а функции
η
k
можно выбрать так, что
η
k
(
x
0
) = 0
,
k
= 1
, m
. В этом случае в системе
(2)
f
(0
,
0) = 0
,
q
(0
,
0) = 0
,
g
(0
,
0)
6
= 0
.
Cистему
˙
η
=
q
(0
, η
)
называют системой нулевой динамики или
просто нулевой динамикой (нуль-динамикой [4]). Систему (1) называ-
ют минимально-фазовой (в окрестности точки
x
0
) [5], если положе-
ние равновесия
η
= 0
нулевой динамики асимптотически устойчиво,
и экспоненциально минимально-фазовой, если оно экспоненциально
устойчиво.
Для минимально-фазовых систем известны методы решения за-
дачи стабилизации положения равновесия
x
0
системы (2) [1, 2, 4].
Они заключаются в построении обратной связи, стабилизирующей по
части переменных
z
положение равновесия
z
= 0
. Локальная стаби-
лизация положения равновесия
z
= 0
,
η
= 0
при этом достигается
за счет свойств нулевой динамики, а стабилизация при этом управле-
нии положения равновесия
x
0
следует из свойств замены переменных
(
z, η
) = Φ(
x
)
.
Для системы (1) также вводят нормальную форму, определенную
глобально. Говорят, что выход системы имеет относительную степень
ρ
в
R
n
, если относительная степень выхода постоянна и равна
ρ
в
каждой точке из
R
n
. Если при этом
(
z, η
) = Φ(
x
)
— диффеоморфизм
из
R
n
на
Φ(
R
n
)
, определяющий преобразование аффинной системы (1)
к нормальной форме (2), то говорят, что нормальная форма определена
глобально. Отметим, что
g
(
z, η
)
6
= 0
в
Φ(
R
n
)
. Аналогично определяют
нормальную форму в некоторой области
Ω
.
Программное движение.
Рассмотрим задачу отслеживания задан-
ного изменения выхода для аффинной системы (1), глобально пре-
образуемой к нормальной форме (2). Предположим, что для системы
(1) задано изменение выхода
y
=
ψ
(
t
)
,
t
≥
0
, где
ψ
(
t
)
— достаточно
гладкая функция. Тогда для системы (2) задано программное изме-
нение по переменной
z
1
,
z
1
=
z
1
(
t
) =
ψ
(
t
)
,
t
≥
0
. Дифференцируя
z
1
(
t
)
по времени необходимое число раз, получим по части перемен-
ных
z
программную траекторию
z
=
z
(
t
) = (
z
1
(
t
)
, . . . , z
ρ
(
t
))
т
,
t
≥
0
,
z
|
t
=0
=
z
(0)
.
Подставив в систему (2) эту программную траекторию и производ-
ную
˙
z
ρ
(
t
)
, получим
˙
z
ρ
(
t
) =
f
(
z
(
t
)
, η
) +
g
(
z
(
t
)
, η
)
u, t
≥
0
,
(3)
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
