где
γ
= max
Ω
(
k
∂
ˉ
q
(
e, φ, t
)
/∂
(
e, φ
)
k
)
, а
c
=
γ
max
Ω
α
4
(
k
φ
k
)
>
0
.
С учетом полученной оценки (16) и неравенств (13) и (15) для
производной функции
V
(
e, φ, t
)
получим
˙
V
(
e, φ, t
)
≤ −
α
3
(
k
φ
k
) +
c
k
e
k −
k
2
√
e
т
Pe
k
e
k
2
≤
≤ −
α
3
(
k
φ
k
) +
c
k
e
k −
k
2
√
λ
max
k
e
k
.
(17)
Выбрав
k >
2
c
√
λ
max
, в
Ω
получаем оценку
˙
V
(
e, φ, t
)
≤ −
W
5
(
e, φ
)
, где
W
5
(
e, φ
) =
α
3
(
k
φ
k
) +
c
1
k
e
k
>
0
,
а
с
1
=
k
2
√
λ
max
−
c >
0
.
Таким образом, все условия теоремы о равномерной асимпто-
тической устойчивости [3] выполнены, и положение равновесия
(
e, φ
) = (0
,
0)
является равномерно асимптотически устойчивым,
что завершает доказательство теоремы.
Отметим, что
теорема 1
является обобщением на случай нестацио-
нарных систем аналогичного утверждения об асимптотической устой-
чивости каскадных стационарных систем, приведенного в работе [3].
Экспоненциальная стабилизация.
Известно, что положение рав-
новесия
e
= 0
системы (11) с гурвицевой матрицей
A
экспоненциально
устойчиво [9].
Условия, при которых положение равновесия нестационарной си-
стемы (11), (12) локально экспоненциально устойчиво, дает следую-
щая теорема.
Теорема 2.
Если нестационарная каскадная система
(11)
,
(12)
та-
кова, что функция
ˉ
q
(
e, φ, t
)
непрерывно дифференцируема в окрест-
ности точки
(
e, φ
) = (0
,
0)
, матрица Якоби
∂
ˉ
q
(
e, φ, t
)
∂
(
e, φ
)
ограничена по
норме равномерно по
t
в некоторой замкнутой ограниченной окрест-
ности точки
(
e, φ
) = (0
,
0)
, система нулевой динамики
˙
φ
= ˉ
q
(0
, φ, t
)
локально экспоненциально устойчива в точке
φ
= 0
, а линейная под-
система
(11)
экспоненциально устойчива в точке
e
= 0
, то каскадная
динамическая система
(11)
,
(12)
локально экспоненциально устойчива
в положении равновесия
(
e, φ
) = (0
,
0)
.
Доказательство.
Из условий теоремы вытекает, что функция
q
(0
, φ, t
)
непрерывно дифференцируема, а матрица Якоби
∂
ˉ
q
(0
, φ, t
)
∂φ
ограничена по норме равномерно по
t
в некоторой замкнутой огра-
ниченной окрестности точки
φ
= 0
. Поскольку положение равнове-
сия системы нулевой динамики локально экспоненциально устойчи-
во, то [9] в некоторой окрестности положения равновесия существуют
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
51
