такова, что функция
ˉ
q
(
e, φ, t
)
непрерывно дифференцируема в окрест-
ности точки
(
e, φ
) = (0
,
0)
, матрица Якоби
∂
ˉ
q
(
e, φ, t
)
∂
(
e, φ
)
ограничена по
норме равномерно по
t
в некоторой замкнутой ограниченной окрест-
ности точки
(
e, φ
) = (0
,
0)
, система нулевой динамики
˙
φ
= ˉ
q
(0
, φ, t
)
равномерно асимптотически устойчива в точке
φ
= 0
, а линейная
подсистема
(11)
асимптотически устойчива в точке
e
= 0
, то кас-
кадная динамическая система
(11)
,
(12)
равномерно асимптотически
устойчива в положении равновесия
(
e, φ
) = (0
,
0)
.
Доказательство.
Пусть
P
— симметрическая положительно опре-
деленная матрица, являющаяся решением стационарного уравнения
Ляпунова
PA
+
A
т
P
=
−
I.
Тогда для функции Ляпунова
V
0
(
e
) =
e
т
Pe
ее производная в силу
системы (11) равна
˙
V
0
(
e
) =
e
т
(
A
т
P
+
PA
)
e
=
−
e
т
e
=
−k
e
k
2
.
Поскольку функция
ˉ
q
(0
, φ, t
)
непрерывно дифференцируема и ма-
трица Якоби
∂
ˉ
q
(0
, φ, t
)
∂φ
в некоторой замкнутой окрестности точки
φ
= 0
ограничена по норме равномерно по
t
, то для системы нулевой
динамики в некоторой окрестности точки
φ
= 0
при
t
≥
0
существует
такая непрерывно дифференцируемая функция
V
1
(
φ, t
)
, что [3]
α
1
(
k
φ
k
)
≤
V
1
(
φ, t
)
≤
α
2
(
k
φ
k
)
,
∂V
1
(
φ, t
)
∂t
+
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
ˉ
q
(0
, φ, t
)
≤ −
α
3
(
k
φ
k
)
,
∂V
1
(
φ, t
)
∂φ
≤
α
4
(
k
φ
k
)
,
(13)
где
α
i
(
k
φ
k
)
,
i
= 1
,
4
, — функции класса
K
(см. например, работу [4]).
Напомним, что функцию
α
(
r
)
,
r
2
[0
, r
0
]
называют функцией класса
K
, если она непрерывная, монотонно возрастающая и
α
(0) = 0
.
Рассмотрим функцию
V
(
e, φ, t
) =
V
1
(
φ, t
) +
k
p
V
0
(
e
)
.
В окрестности точки
e
= 0
,
φ
= 0
эта функция непрерывна при любом
t
, и для нее при
t
≥
0
справедливо неравенство
α
1
(
k
φ
k
) +
k
p
V
0
(
e
)
≤
V
(
e, φ, t
)
≤
α
2
(
k
φ
k
) +
k
p
V
0
(
e
)
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
49
