Рис. 3. Аттрактор системы Катала и граница локализирующего множе-
ства
F
−
1
(Ω
l
)
Граница этого локализирующего множества и аттрактор системы Ка-
тала при
p
1
= 1
,
p
2
=
−
0
,
5952
изображены на рис. 3.
Множество
F
−
2
(
G
lA
) =
F
−
1
(
F
−
1
(
G
lA
))
описывается квадратич-
ным неравенством
p
2
+ (
p
1
x
+
y
)
2
≤
A
2
(
A
−
p
1
)
2
−
4
p
2
4(
A
−
1)
−
Ap
1
(
p
1
x
+
y
)
−
A
(
p
2
+
x
2
)
,
или
(
p
1
x
+
y
)
2
+
Ax
2
+
Ap
1
(
p
1
x
+
y
) + (1 +
A
)
p
2
−
A
2
(
A
−
p
1
)
2
−
4
p
2
4(
A
−
1)
≤
0
.
Учитывая, что это множество не пусто, а квадратичная форма в ле-
вой части положительно определена, заключаем, что рассматриваемое
множество представляет собой внутренность эллипса. На рис. 4 пока-
заны аттрактор системы Катала при
p
1
= 1
,
p
2
=
−
0
,
5952
и граница
множества
F
−
2
(
G
l
) =
T
A>
1
F
−
2
(
G
lA
)
.
Отрицательно инвариантные компакты.
Для заданной локализи-
рующей функции
ϕ
требуется решить две оптимизационные задачи:
(
ϕ
(
x
)
→
sup;
x
2
ˆ
F
(Σ
+
ϕ
);
(
ϕ
(
x
)
→
inf;
x
2
ˆ
F
(Σ
−
ϕ
)
.
Однако отметим, что множества
ˆ
F
(Σ
+
ϕ
)
и
ˆ
F
(Σ
−
ϕ
)
содержат множество
M
\
F
(
M
)
, которое в данном случае представляет собой полуплоскость
y < p
2
. Поэтому для получения нетривиальных результатов локализи-
рующая функция
ϕ
не должна достигать в указанной полуплоскости
своих точных верхней и нижней граней.
В качестве локализирующей можно выбрать линейную функцию
ϕ
(
x, y
) =
Ax
+
By
или параболическую функцию
ψ
(
x, y
) =
Ax
2
+
By
.
Для первой функции интерес представляет лишь случай
A
= 0
, т.е.
можно считать, что
ϕ
(
x, y
) =
y
. Анализ показывает, что в этом случае
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
15
