В настоящей работе поведение процесса
ξ
(
t
)
при
t
→ ∞
исследует
-
ся в случае
h
0
(
s
) =
p
0
1
s
+
p
0
2
s
2
,
h
2
(
s
) =
p
2
0
+
p
2
1
s
.
Из условий
p
0
1
+
p
0
2
= 1
,
p
2
0
+
p
2
1
= 1
имеем разложения на множители
h
0
(
s
)
−
1 = (
s
−
1)(
p
0
2
s
+1)
,
h
2
(
s
)
−
s
2
= (1
−
s
)(
s
+
p
2
0
)
,
и стационарное уравнение
(8)
сводится к
уравнению
,
коэффициенты которого являются линейными функциями
независимой переменной
(
см
.
уравнение Лапласа в работах
[15,
ч
. 3,
уравнение
2.145], [12,
гл
. 6, § 2]:
µ
(
s
+
p
2
0
)
d
2
f
(
s
)
ds
2
−
λ
(
p
0
2
s
+ 1)
f
(
s
) = 0
.
(9)
Существование стационарного распределения следует из наличия
нетривиального абсолютно суммируемого решения стационарной си
-
стемы уравнений Колмогорова
[10,
гл
. 3, § 6], [6,
гл
. 1, § 5,
теорема
4],
которое получаем как решение уравнения
(9).
При этом коэффициенты
q
j
разложения производящей функции в степенной ряд
f
(
s
) =
∞
X
j
=0
q
j
s
j
составляют предельное стационарное распределение
.
Уравнение
(9)
решено в явном виде при всех значениях параметров
p
0
2
и
p
2
0
.
Предельные теоремы
,
приводимые далее
,
устанавливают асим
-
птотическую нормальность найденного стационарного распределения
при
λ/µ
→ ∞
.
Решение стационарного уравнения в случае
p
0
2
= 1
,
p
2
0
= 1
.
Для
рассматриваемого марковского процесса со схемой взаимодействий
0
→
2
T
,
2
T
→
0
класс сообщающихся состояний
[10]
зависит от на
-
чального состояния
.
Если начальное состояние четное
,
то имеем класс
K
0
=
{
0
,
2
,
4
, . . .
}
;
если нечетное
,
то имеем класс
K
1
=
{
1
,
3
,
5
, . . .
}
.
Интенсивности вероятностей переходов указаны на рис
. 2.
Уравнение
(9)
принимает вид уравнения с постоянными коэффици
-
ентами
:
µ
d
2
f
(
s
)
ds
2
−
λf
(
s
) = 0
.
Рис
. 2.
Диаграмма переходов в случае
p
0
2
= 1
, p
2
0
= 1
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
9
