Второе уравнение Колмогорова для производящей функции пере
-
ходных вероятностей
F
(
α
1
,α
2
)
(
t
;
s
1
, s
2
)
имеет вид
∂F
α
(
t
;
s
)
∂t
=
λ
2
s
3
1
−
s
2
1
s
2
∂
3
F
α
(
t
;
s
)
∂
2
s
1
∂s
2
+
+
λ
1
p
2
s
2
+
p
0
−
s
1
∂F
α
(
t
;
s
)
∂s
1
+
λ
0
s
1
−
1
F
α
(
t
;
s
)
, F
α
(0;
s
) =
s
α
,
(24)
где
λ
2
>
0
,
λ
1
>
0
,
λ
0
>
0
,
p
0
≥
0
,
p
2
≥
0
,
p
0
+
p
2
= 1
.
Рассматрива
-
емый марковский процесс является двумерным процессом рождения и
гибели кубического типа
;
возможные скачки процесса изображены на
рис
. 6,
случай
б
.
Детерминированная модель брюсселятора выводится аналогично
,
как в предшествующем пункте
;
из уравнения
(24)
приходим к диффе
-
ренциальным уравнениям
˙
x
1
=
λ
2
x
2
1
x
2
−
λ
1
x
1
+
λ
0
,
˙
x
2
=
−
λ
2
x
2
1
x
2
+
λ
1
p
2
x
1
,
x
1
(0) =
x
0
1
, x
2
(0) =
x
0
2
,
(25)
где
x
1
(
t
)
,
x
2
(
t
)
—
количество реагентов в момент времени
t
для реакции
с кинетической схемой
(23).
Исследованиям поведения решений си
-
стемы уравнений
(25)
посвящена обширная литература
(
см
.,
например
,
[6, 7]).
Для приложений важны случаи поведения траекторий
,
предста
-
вленные на рис
. 9 (
устойчивый фокус
)
и рис
. 11 (
предельный цикл
).
На рис
. 9
дана траектория детерминированной модели
x
1
(
t
)
,
x
2
(
t
)
на фазовой плоскости
x
1
Ox
2
при начальных условиях
x
1
(0) = 1000
,
x
2
(0) = 3000
и приведен пример реализации стохастического процес
-
са
(
ξ
1
(
t
)
, ξ
2
(
t
))
при начальных условиях
(
ξ
1
(0)
, ξ
2
(0)) = (1000
,
3000)
.
Значения параметров составляют
λ
2
= 0
,
000001
,
λ
1
= 7
,
λ
0
= 4000
,
p
2
= 0
,
7
,
T
= 10
.
На рис
. 11
дана траектория детерминированной модели
x
1
(
t
)
,
x
2
(
t
)
на фазовой плоскости
x
1
Ox
2
при начальных условиях
x
1
(0) = 1000
,
x
2
(0) = 3000
и приведен пример реализации стохастического процес
-
са
(
ξ
1
(
t
)
, ξ
2
(
t
))
при начальных условиях
(
ξ
1
(0)
, ξ
2
(0)) = (1000
,
3000)
.
Значения параметров составляют
λ
2
= 0
,
000001
,
λ
1
= 8
,
λ
0
= 4000
,
p
2
= 0
,
7
,
T
= 10
.
Схема
(23)
интерпретируется как открытая система частиц с трой
-
ными взаимодействиями
.
При
t
→ ∞
существует стационарное рас
-
пределение
,
характеризуемое распределением вероятностей
{
q
(
β
1
,β
2
)
,
(
β
1
, β
2
)
2
N
2
}
,
где
q
(
β
1
,β
2
)
= lim
t
→∞
P
(
α
1
,α
2
)
(
β
1
,β
2
)
(
t
)
.
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
69
